Dirichlet 分布（2）

小象实战讲义 · 机器学习算法精讲

上一节我们搭好了 LDA 的雏形：超参数 $\boldsymbol{\alpha}$ 生成文档的主题混合 $\theta$，$\theta$ 为每个词选主题 $z$，主题 $z$ 再按主题-词分布 $\boldsymbol{\beta}$ 生成具体的词。这一节模型图已经画完，我们把它完整地讲一遍：下角标一个个读清楚，生成过程一步步走查，数一数模型里到底有多少参数，最后回答一个更重要的问题——为什么要把不确定性再往上提一层。

💡 核心导读

• 下角标精读：$N_d$、$\theta_{d,k}$、$\beta_{k,i}$ 各代表什么，为什么每篇文档要带一个 $d$。
• 生成过程走查：从 $\alpha$ 采 $\theta$、从 $\theta$ 采颜色（主题）、再按 $\boldsymbol{\beta}$ 采词——普通分布一步采样，LDA 采了三次。
• 参数量级：2 万个词、20 个 topic，$\boldsymbol{\beta}$ 就有 40 万个值——远超隐马尔可夫模型的几十个参数。
• 模型谱系：普通概率模型 → 隐含变量 → 隐马尔可夫 → 混合模型（PLSA）→ LDA，每往上一级多出的是哪一层。
• 往上提一层的好处：点估计稍一变结果就变；把 $\theta$ 交给 $\alpha$ 控制，等于用 $\alpha$ 掌控一整片「附近的好模型」——层数越高，容量（capacity）越大。

把模型的下角标读清楚

讲师开场先把话说明白：「大家不用关心这里边的下角标的情况，如果需要，我给大家去解释一下。」——这一节模型的下角标比以前多，值得花几分钟逐个读。

小 $n$ 与 $N_d$：$n$ 代表具体的词的数量。为什么角标变成了 $d\,n$？因为 $d$ 代表每一个不同的文档：第一篇文章里边的词从 1 数到 $N_1$，第二篇文章里词的总数量是 $N_2$，第三篇是 $N_3$……因为每一篇文章里边词的数目不一样，所以要多加一个 $d$ 的角标，记作 $N_d$。

$\theta_{d,k}$：$d$ 是文档序号，从 1 到 $M$；$k$ 对应主题维度——$K$ 就是我们目前有多少个 topic 的混合。给定第八个文本（$d=8$），$\theta$ 就是一个概率分布；假设 $K=4$，它就是四维的：$\theta_{8,1}$、$\theta_{8,2}$、$\theta_{8,3}$、$\theta_{8,4}$。$\theta_{8,4}$ 代表的，就是第八个文档里边的第四个维度上的值——第八篇文档里第四个主题占多大权重。

$\beta_{k,i}$：$\boldsymbol{\beta}$ 是一个矩阵，给定第几个 topic，它这些词的分布是什么样。因为有 $K$ 个 topic、词表里有 $i$ 个词，所以 $\boldsymbol{\beta}$ 实际上是 $\beta_{k,i}$ 这样的 $K \times i$ 矩阵。讲师特别说明：板书上画的 $\boldsymbol{\beta}$ 和矩阵写法是一个转置关系，「这个大家不用关心，这个不是不重要——你可以这样去看，也可以取它的转置，都是 OK 的」。

生成过程：一步、两步、三步

下角标读清楚之后，整个生成过程可以这样描述。

第一步，给定一个 $\alpha$。$\alpha$ 是我们要学习的，实际上就是一个超参数。有了这个超参数，接着学习它能生成的混合程度——说白了就是 $\theta$ 的值：$\theta$ 从 $\alpha$ 取，$\theta \sim \text{Dir}(\boldsymbol{\alpha})$，一个狄利克雷分布。$\theta$ 一定是一个组合的概率值：假设有三个分量 $Z_1$、$Z_2$、$Z_3$，$\theta$ 就是类似 $(0.8, 0.1, 0.1)$ 这样各分量和为 1 的组合。

第二步，$\boldsymbol{\beta}$ 是每种颜色的词分布。$\beta$ 代表：红色的 topic 里边，所有对词的概率分布——也就是 $W \mid Z$，$Z=1$ 时 $W$ 的分布是什么样。假设参数给定了红色 topic：第一个词 life 的概率最大，其次是 involve。我们在这个分布上采样，一下采到了一个 life，就把第一个词 life 放到了文本里——文本的词就是这样生成的。

第三步，回到 $\theta$ 再采颜色。第二次还是从 $\theta$ 开始——因为我们已经采到了一个 $\theta$，从它再选取一个，选了黄色；看黄色 topic 所对应的词的分布，又生成了一个词，比如「基因」或者 DNA。再去采，采出一个红色，再采黄色、再采蓝色……每次采到什么颜色，就去 $\boldsymbol{\beta}$ 里相应颜色的那一行，选取哪个词的概率大，根据它的概率分布采一个词放到文本里。这就是一个完整的采样过程。

这里值得停下来对照一下。所有概率模型所做的事情是这样子的：给定一个正态分布，我们看到好多数据，就假设这些数据都是这个概率分布生成的、都是它的采样；回过头来再利用这些值解释——它里边的参数 $\mu$ 和方差都该是什么。这个采样就一步：给定分布，直接在上面采一个数据出来。但我们刚才描述的系统，是一个 hierarchical（层级）结构——它的采样不是一下就采出来的，采了三次才采出来。不过无论采了几次，它总之是一个复杂的概率模型和系统。我们现在实际观察到的，是文本里边好多好多的词：能不能用这些词，反过来预测出它们所对应的这些参数？

LDA：高级一层的扔硬币生成器

这个问题我们其实早就见过答案。还记得最早研究的硬币问题吗？我们并不知道硬币是怎么来的，就假设它也是采样出来的：A 生成一个 $\pi$，$\pi$ 来决定由 B 还是 C 掷出，才看到正面和反面；我们实际观察到的是好多正面反面，回过头来预测生成过程里面的参数。

LDA 也是一个扔硬币的生成器，但比硬币高级了一层：它假设 $\pi$（在这里就是 $\theta$）最开始的这个情况，是由更高级的狄利克雷分布所生成的。所以做文本问题时，我们看到了好多好多词，就来假设、估计这里边的参数——看到的这些单词，就像掷硬币看到的正面反面一样。上一节我们叫它们宗教硬币、计算机硬币，这一节讲师的清单更长：法律硬币、美学硬币，它们制出来不同的词和不同的面，回过头来预测这些硬币的参数。第一个参数就是 $\boldsymbol{\beta}$：关于每一个硬币掷出来不同面的概率多大——它就是我们三硬币模型里最开始的那个 $p$ 的多词版。

$z$ 代表用哪种类型的硬币。那这个硬币是由哪采出来的？是由硬币组合的先验、这个混合概率采出来的。讲师给了一个很好记的画面——每一个同学有自己的偏好：这个同学手揣着的，基本是数学硬币、物理硬币、计算机硬币；那个同学揣的是法学硬币、社会学硬币；还有一个揣的是美学硬币、唱歌硬币。你会发现，每个同学代表着不同的 topic 和硬币的组合。而硬币的组合是哪来的？——这里没有再假设更高级的随机变量了，这个组合就是由 $\alpha$ 这个超参生成的。

所以这个模型最后要学的东西，一共四样：$\alpha$ 应该等于多少？$\theta$ 应该等于多少？每一个 $z$ 等于多少？以及 $z$ 所对应的 $\boldsymbol{\beta}$ 又应该是多少？

参数量级：从几十个到几十万个

数一数这些参数。正常来讲，取 20 个 topic 不算多，词表起码有两万个单词——这一乘，大概就是 40 万个 $\beta$ 的值。$\theta$ 反而就不算多了：1000 篇文档、每篇 20 个主题分量，就是 2 万个 $\theta$。2 万个 $\theta$ 加上 40 万个 $\beta$，远远超过了以前我们对普通概率模型的理解——就像隐马尔可夫链，估计的参数也就是几十个；当参数从几十个变成几十万，这个问题就变得更难了。

也许这个时候可以试着用 EM 算法去解，会发现也不太容易。后来大家有了变分法（后来的文献多称变分推断，variational inference），或者通过 MCMC 采样，直接逼近背后的这种条件概率——这些推断方法本课不展开，但要知道它们是为什么被发明的：参数实在太多，直接极大似然算不动了。

再抽象一遍：概率模型的谱系

如果回过头来还是觉得难，可以像讲师那样把问题再抽象一遍——从最普通的模型一级一级加层，看每一级多出了什么。

第一级：普通的概率模型。看到一个普通的硬币、一个 $X$：假设 $X$ 服从某种分布，参数是 $\theta$——给定它所有的值，估计参数是什么，做极大似然估计。讲师的原话是「这是我们一直做做的事情，我们没有任何的事情所做」：随机变量、参数、极大似然。这是大一一直所学的。

第二级：引入隐含变量。再复杂一点，认为 $X_i$ 是由一个随机变量 $Z_i$ 所生成的，回过头来由 $Z_i$ 控制——引入了隐含变量之后，里边的概率就不再是简单的直接估计，结果会变成 $X_i$ 和 $Z_i$ 之间的关系（三硬币、EM 都住在这里）。

第三级：时间序列。假设 $i$ 跟时间序列有关系，就变成了 $Z_{i+1}$、$X_{i+1}$，一路点点点——$X$ 不叫 $X_n$ 了，叫 $X_t$，这里对应 $Z_t$：隐马尔可夫链。给定的最早参数变成 $\pi$（最初始的状态分布），每一个不同的状态观察到不同的值，状态之间是一条隐马尔可夫链。

第四级：混合模型（mixture model）。由 $\theta$ 来混合：$\theta_1 \cdot p(x_i \mid z_1) + \theta_2 \cdot p(x_i \mid z_2) + \cdots + \theta_K \cdot p(x_i \mid z_K)$。把「$Z_i$ 生成 $X_i$」这一对管它叫一个绿色框：$\theta$ 控制第一个绿色的框、第二个绿色的框……真正的概率混合是——无论绿色方块里面的概率是什么，前面都加一个 $\theta$ 所对应的权重：

• 每个绿色方块是一个高斯分布 → 混合高斯（GMM），每个方块 2 个参数（$\mu$、$\sigma$）；
• 每个绿色方块是一个伯努利分布 → 混合伯努利（三硬币），每个方块 1 个参数（$p$）；
• 每个绿色方块是给定 topic 时词的概率分布 → $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_K$——每个方块 2 万个参数。

$\boldsymbol{\beta}$ 是一个 2 万维的向量，合在一起是一个「2 万 × K」的矩阵——但它仍然是一个混合分布，形式上跟混合高斯没有任何区别。

第五级：LDA。到混合模型这一步（$\theta$ 控制这些绿色框），就是 PLSA 做到的地方——本章开头讲 PLSA 时我们画过它的概率图。LDA 在它基础之上又引入了一件事：这种混合我认为是由 $\alpha$ 生成的——给定 $\alpha$ 超参的狄利克雷分布，每次都可以采出来一种 $\theta$，而每一种 $\theta$，就代表了一种权重的组合。

为什么要往上提一层

那么，把 $\theta$ 从「待估参数」升级成「由 $\alpha$ 生成的随机变量」，好处到底在哪？

先看 $\alpha$ 的作用。$\alpha$ 不同的时候，如果还记得上一节狄利克雷分布的采样图，有一种情况是分布非常集中于某一个点：这个地方特别「重」，别的地方比较轻——那么采样就会有很大概率取到这个点附近。踩到这个点，$\theta$ 基本就是 $(0.9, 0.05, 0.05)$；再采一次，可能是 $(0.8, 0.1, 0.1)$——中间这个分量总是很大。这代表着 $\alpha$ 生成的 $\theta$ 是有偏好的：$\theta_1$ 都比较大，其他的 $\theta$ 都比较小。

再看核心动机。讲师的原话值得整段体会：因为我们整个的生活里面有很多的不确定性，所以即使想学 $\theta$ 这个分布，也把这个不确定性往上考虑到了一层。也许固定学出的 $\theta$ 就是趋近 $(0.8, 0.1, 0.1)$——这是我们最完美的情况，但这完美的情况，其实我们也不知道是什么。有一个很好的 $\alpha$ 控制的时候，可以把以 $(0.8, 0.1, 0.1)$ 为中心的、附近的这些模型，都用 $\alpha$ 进行建模。「我不知道大家——我描述的这个意思有没有？」

以前我们在很多情况下，都认为参数是估计一个点：但这个点稍稍一变，最后的结果也都变了。往上一层就不一样了：$\alpha$ 稍稍一变的时候，影响会小一些——$\alpha$ 的值可以控制到一大块区域，这一块大的区域里有很多不确定性，但基本都生成类似的 topic 的混合，而这种混合，基本可以达成对每个数据观察最好的逼近。往上提高一层，实际上是有这样的一个优点在里边。

层数越高，容量越大

再往大里说：可以广泛地认为，概率模型的层数越高，模型的 capacity——它所谓的自由度——越大，可以模拟或者逼近更复杂的关系。

这跟后来的深度网络是有关联、有类似想法的，但它们所描述的模型完全不一样：

• 深度网络：通过线性和非线性的组合、一步步地递归，是一个比较完整的可导函数；
• 这里：是概率的关系。这些概率关系都是特别优美、连续的概率时，有些后验概率求极大似然值还是能被计算出来；在很多情况下没法计算，就需要做一些数值上的逼近——深度网络那边也有类似的处境。

无论这些模型长什么样，做的事情都是把整个模型的自由度变大——可以考虑到更多的情况和更复杂的情况。在这个时候，如果你有大量的数据，你会发现这个模型非常地好用。

训练出来的 topic 长什么样

LDA 有很多现成的代码可以尝试，训练之后你会发现，它生成的 topic 非常地 make sense：不同的这些词之间，它们之间的概率分布会相差得非常大。也就是说，每一个 topic 其实并没有很清晰地告诉我们这个 topic 是什么，但它生成的词的区别是非常大的。

这里有一个最重要的澄清，讲师怕大家误解，专门停下来讲：topic 是关于词的概率，不是说只有这些词。每一个 topic（比如 art）所蕴含的词，是所有的词——词表有两万个，它里边的分布就是两万个词；budget 里边也是两万个。我们画图时只画了前边的（比如 top 15，把里边概率最大的 10 个画出来），不代表说后边没有词——后边还有很多很多的词，而且每一个词在每个 topic 里都有概率，只是排序不一样。所以有人会误解说 art 这个 topic 就是这几个词——不是这样子的：art 所代表的东西，是在整个词上的分布。

把概率最大的词画出来，区别立刻就看得见：

• art：show、music、play、musical、actor
• children：years、family、parents
• budget：budget、federal、year
• education：school、high、public、teacher

你会发现，每个 topic 里边这些词的组合，非常具有语义上的相关性。

基向量视角与 topic 数 K

我们所做的事情，仔细想一下其实就是：给定了好多这种文本，需要有一些基向量——这个基向量是用一个概率分布、一个离散的概率分布所描述的，这就是所谓的 topic。任何一篇文本，就像一个具体的矩阵一样，是由很多基向量的线性组合所决定的。

基向量怎么学？一定要学到这些基向量之间互相垂直——也就是这些 topic 之间，对词的分布尽量相差得非常大：art 乘上 budget 这个向量，应该趋于 0；budget 乘 children，应该趋于 0；我们所有学出来的 topic 的分布互相相乘，都应该趋于 0——它们就变成了一个空间里互相垂直的基向量。我们要学习到最好的基向量，来表示不同维度的关系，topic 在某种程度上正是起到了这个作用。

我们用代码把这个「垂直」数值化地看一眼。构造三个主题，每个主题在自己的词簇上集中，但按上面的澄清，对词表里所有词都保留一点概率（长尾 0.005）；再构造一个与 art 高度重叠的「近亲主题」做病态对照：

import math

# 词表 12 个词，分属三个语义簇
vocab = ['show', 'music', 'play', 'actor',           # 艺术簇
         'budget', 'federal', 'spending', 'year',     # 预算簇
         'school', 'teacher', 'public', 'high']       # 教育簇

def topic(cluster):
    """构造一个主题：在 cluster 起始的 4 个词上集中（各 0.24），
    其余 8 个词各留 0.005 的长尾——topic 是整个词表上的分布，不是只有高频词"""
    probs = [0.005] * len(vocab)
    for i in range(cluster, cluster + 4):
        probs[i] = 0.24
    return probs

def dot(a, b):
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

def cos(a, b):
    return dot(a, b) / math.sqrt(dot(a, a) * dot(b, b))

beta_art, beta_budget, beta_edu = topic(0), topic(4), topic(8)

print(f'art 与 budget:    内积 {dot(beta_art, beta_budget):.4f}，cos 相似度 {cos(beta_art, beta_budget):.3f}')
print(f'art 与 education: 内积 {dot(beta_art, beta_edu):.4f}，cos 相似度 {cos(beta_art, beta_edu):.3f}')

# 病态对照：一个与 art 高度重叠的「近亲主题」（0.22*4 + 0.01*4 + 0.02*4 = 1.00）
beta_twin = [0.22, 0.22, 0.22, 0.22] + [0.01] * 4 + [0.02] * 4
print(f'art 与 art 近亲:  内积 {dot(beta_art, beta_twin):.4f}，cos 相似度 {cos(beta_art, beta_twin):.3f}')

art 与 budget:    内积 0.0097，cos 相似度 0.042
art 与 education: 内积 0.0097，cos 相似度 0.042
art 与 art 近亲:  内积 0.2118，cos 相似度 0.997

三个各管一簇的主题，两两内积只有 0.0097，跟自身内积（$4 \times 0.24^2 + 8 \times 0.005^2 = 0.2306$）相比差了二十多倍，cos 相似度 0.042——接近垂直；而那个跟 art 重叠的近亲主题，cos 相似度高达 0.997，几乎平行——两个主题分不开，等于一个基向量被数了两遍。这也正好解释了 topic 数 $K$ 怎么选：在整个文本所表示的高维空间里边，可以用一个 20 维空间的基向量表述，还是 10 维空间的基向量——这个 10 和 20 就是 topic 的个数 $K$，由你来决定。太小了之后没有意义，没有办法去区分它们之间的差别；太大之后意义也不大，区分得太细了。合适的 topic number，会使你的效果比较好一些。

bank：一个词，两个 topic

最后剩下一小块，从 probabilistic generative process（生成过程）的角度再看一个例子。一个 topic 是 bank、money——这里的 bank 指 financial bank（银行）；bank 还有一个河岸的意思——那代表第二个 topic。在这种程度上，其实我们就可以通过 topic 的不同，来区分它不同的语义和词性（一词多义，ambiguity）。

100% 从 financial 这个 topic 生成的时候，文字基本是 money、bank、loan；100% 从 river 生成，就是 river、bank、bank、river。但你会发现，经常出现的是一种混合的状态：money 有、bank 有、river 也有。用代码算一算这三种文档的词分布——两套 $\boldsymbol{\beta}$ 各管一个主题，$\boldsymbol{\theta}$ 是文档的主题权重，文档的词分布就是两者的加权混合：

# 词表 6 个词。两套主题-词分布 beta（每行和为 1，手工设定）
vocab = ['money', 'bank', 'loan', 'river', 'water', 'stock']
beta_financial = [0.30, 0.25, 0.25, 0.02, 0.03, 0.15]   # 金融主题
beta_river     = [0.02, 0.25, 0.01, 0.30, 0.37, 0.05]   # 河流主题

def doc_dist(t1, t2):
    """给定文档主题权重 (t1, t2)，合成词分布 P(w) = t1*beta1[w] + t2*beta2[w]"""
    return [t1 * b1 + t2 * b2 for b1, b2 in zip(beta_financial, beta_river)]

for name, t1, t2 in [('纯金融 theta=(1.0, 0.0)', 1.0, 0.0),
                     ('纯河流 theta=(0.0, 1.0)', 0.0, 1.0),
                     ('混合   theta=(0.6, 0.4)', 0.6, 0.4)]:
    dist = doc_dist(t1, t2)
    print(name + ':')
    print('  ' + '  '.join(f'{w}={p:.3f}' for w, p in zip(vocab, dist)))
    print(f'  概率总和检查: {sum(dist):.4f}')

纯金融 theta=(1.0, 0.0):
  money=0.300  bank=0.250  loan=0.250  river=0.020  water=0.030  stock=0.150
  概率总和检查: 1.0000
纯河流 theta=(0.0, 1.0):
  money=0.020  bank=0.250  loan=0.010  river=0.300  water=0.370  stock=0.050
  概率总和检查: 1.0000
混合   theta=(0.6, 0.4):
  money=0.188  bank=0.250  loan=0.154  river=0.132  water=0.166  stock=0.110
  概率总和检查: 1.0000

三个观察：

• 纯金融文档的词分布就是 $\boldsymbol{\beta}$ 的第一行，纯河流就是第二行——这就是「100% 从某个 topic 生成」的含义；
• 混合文档（$\theta = (0.6, 0.4)$）里 money 有、bank 有、river 也有——正是讲师说的混合状态，各自按权重缩放（money $= 0.6 \times 0.30 + 0.4 \times 0.02 = 0.188$）；
• bank 在三种文档里都是 0.250，一动不动——因为两个主题里 bank 的概率恰好相等。bank 在金融主题和河流主题里都是高频词，这正是它一词多义的数学表达：无论文档偏哪个主题，它都排在前面。反过来说，只看 bank 这一个词，永远分不清这篇文档在讲金融还是河岸；money 和 river 这一对词，才是区分两个主题的钥匙。

现在把问题倒过来——这就是 LDA 要解的推断问题：告诉你观察到了第一个、第二个、第三个文本，想知道每个 topic 里边该是什么（主要就是 $\boldsymbol{\beta}$：给定每个 topic 的时候，词的分布是什么），以及每一个文档里主题组合的权重应该是多少——$\theta_{1,1}, \theta_{1,2}, \theta_{1,3}$ 是第一篇文档的三个主题权重，$\theta_{2,1}, \theta_{2,2}, \theta_{2,3}$ 是第二篇的（讲师板书上有时按 topic 在前画，就像 $\boldsymbol{\beta}$ 的转置注一样，含义相同）。这个层面上你会发现，它好像还真有点像我们的一个神经网络——但实际上它们表述的是一种概率生成的关系，这一点可以区分一下。（今天的课，就给大家讲到这里。）

📝 动手练一练

1. 概念辨析：为什么不直接为每篇文档估计一个固定的 $\theta$，而要往上加一层、让 $\theta$ 从 $\text{Dir}(\boldsymbol{\alpha})$ 中生成？请从「点估计稍一变会怎样」「$\alpha$ 控制的范围」「模型层数与 capacity」三个角度回答。

2. 手算验证：沿用「bank：一个词，两个 topic」一节的 $\boldsymbol{\beta}$，把文档权重换成 $\theta = (0.7, 0.3)$，手算这篇混合文档中 money、bank、river 三个词的概率。哪个词的概率与上节混合文档（$\theta = (0.6, 0.4)$）完全相同？为什么？

本章小结

本节把 LDA 讲完整了。我们把模型的下角标读清楚（$N_d$、$\theta_{d,k}$、$\beta_{k,i}$），跟着讲师把生成过程走了三步采样（$\alpha$ 采 $\theta$、$\theta$ 采颜色、颜色按 $\boldsymbol{\beta}$ 采词），数出了它的参数量级（2 万个 $\theta$ 加 40 万个 $\beta$，难怪 EM 也吃力、要请变分法和 MCMC 出场），并用五级谱系（普通概率模型 → 隐含变量 → 隐马尔可夫 → 混合模型 → LDA）给它定了位。更重要的是「为什么」：点估计稍一变结果就变，把不确定性交给 $\alpha$ 往上提一层，等于用 $\alpha$ 掌控一整片「附近的好模型」——层数越高，容量越大。最后两个直观：topic 是整个词表上的分布（top 词只是画出来的部分），彼此接近垂直、像一组基向量；bank 一词多义，正因为它在两个主题里都是高频词——单看它永远分不清主题，money 和 river 才是钥匙。

📋 行动清单

• 口述生成过程：不借助资料，把 LDA 为一篇文档生成词的完整步骤（$\alpha \rightarrow \theta_d \rightarrow z \rightarrow w$）一步步讲出来，数清楚一共采了几次样。
• 画出五级谱系：在笔记本上把普通概率模型 → 隐含变量 → 隐马尔可夫 → 混合模型 → LDA 画成一条升级链，标出每一级多出来的那一层。
• 运行并改动代码：修改 bank 一节代码里的 $\theta$（如 $(0.5, 0.5)$、$(0.9, 0.1)$），观察各词概率怎么变、bank 为什么不变；再给基向量一节的代码增加第 4 个主题，验证新的两两内积仍然很小。
• 思考 K 的选取：如果要给一个词表 2 万词的新闻语料建 LDA，你会先试多大的 K？K 太小和太大分别会丢掉什么？

—— 小象教研组