量化策略中的经典资金管理模型

量化策略中的经典资金管理模型

小象实战讲义 · 进阶量化交易实战：迭代式的量化策略研发 本讲义仅用于编程与量化方法教学，不构成任何投资建议。

资金管理决定了量化交易者是成为复利奇迹还是走向破产归零。即便是一个期望收益为正的交易策略，如果不加节制地重仓下注，根据大数定律终将遭遇几何破产。本节系统推导凯利公式（Kelly Criterion）、固定比例风险模型（Fixed Fractional / CPR）以及最优 f 模型的数学机理。

💡 核心导读

• 三大经典资金管理模型体系：
  • 凯利公式最优下注比例（Kelly Criterion）：理论上实现长期对数财富增长率最大化的最优杠杆杠杆比例；
  • 半凯利与分数凯利（Fractional Kelly）：由于实盘参数估计存在误差，通常采用 $f^* / 2$ 作为稳健下注比例；
  • CPR 固定比例风险模型（Constant Proportion Risk）：单笔交易最大允许亏损金额严格锁定在总资本的固定比例（如 $1$）。

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    资金管理模型与头寸规模计算拓扑图              │
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                               │
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│ 凯利公式 (Kelly <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>f</mi><mo>∗</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f^*</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1076em;">f</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6887em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mbin mtight">∗</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>)  │   │ 分数凯利 (Half-Kelly)   │   │ 固定比例风险 CPR 模型   │
├─────────────────────────┤   ├─────────────────────────┤   ├─────────────────────────┤
│ • <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>f</mi><mo>∗</mo></msup><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mi>p</mi><mo>−</mo><mi>q</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">/</mi><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f^* = (b p - q) / b</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1076em;">f</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6887em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mbin mtight">∗</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">q</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">/</span><span class="mord mathnormal">b</span></span></span></span> │   │ • <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>=</mo><mn>0.5</mn><mo>×</mo><msup><mi>f</mi><mo>∗</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f = 0.5 \times f^*</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1076em;">f</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">0.5</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1076em;">f</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6887em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mbin mtight">∗</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>  │   │ • 风险限额 = Equity * 1%│
│ • 最大化长期对数财富增长│   │ • 牺牲微小收益换回撤减半│   │ • Position = Risk / ATR │
└─────────────────────────┘   └─────────────────────────┘   └─────────────────────────┘

一、凯利公式的数学推导与破产临界点

设单笔交易胜率为 $p$，失败概率为 $q = 1 - p$，获胜时的盈亏比为 $b$。每笔下注占当前资本比例为 $f$。经过 $N$ 轮交易后的几何复合增长率为：

$$g(f) = p \ln(1 + b f) + q \ln(1 - f)$$

对 $g(f)$ 求导令 $g’(f) = 0$，解得使复合增长率最大化的最优下注比例：

$$f^* = \frac{b p - q}{b} = \frac{p(b+1) - 1}{b}$$

当 $f > 2 f^*$ 时，策略复合增长率将跌入负值区间，必将导致破产。

import pandas as pd
import numpy as np

def calculate_kelly_fraction(win_rate: float, profit_loss_ratio: float, safety_factor: float = 0.5) -> dict:
    """
    计算完全凯利与分数凯利最优仓位比例
    """
    p = win_rate
    q = 1.0 - p
    b = profit_loss_ratio
    
    full_kelly = (b * p - q) / b if b > 0 else 0.0
    full_kelly = max(0.0, full_kelly)
    
    fractional_kelly = full_kelly * safety_factor
    
    return {
        'Full_Kelly': float(full_kelly),
        'Fractional_Kelly': float(fractional_kelly),
        'Expected_Log_Growth': float(p * np.log(1 + b * fractional_kelly) + q * np.log(max(1e-6, 1 - fractional_kelly)))
    }

二、CPR 固定比例风险模型与 ATR 仓位动态计算

固定比例风险模型（CPR）规定每次交易承担的绝对风险金额为总资金的固定比例 $R_{pct}$（如 $1.5$）。单只标的的买入股数由每股止损距离 $\Delta P_{\text{stop}}$ 决定：

$$\text{Position Size} = \frac{\text{Total Equity} \times R_{pct}}{\text{Entry Price} - \text{Stop Price}} = \frac{\text{Total Equity} \times R_{pct}}{k \times ATR}$$

注意该公式只约束了「风险敞口」，并未约束「资金占用」。A 股现货账户无杠杆，当止损距离极窄（$k \times ATR$ 很小）时，公式算出的股数对应市值可能超过总资金，实际下单时必须再取 $\min(\text{风险股数},\ \lfloor \text{Total Equity} / \text{Price} \rfloor)$ 作为资金上限。

def calculate_cpr_position_size(equity: float, risk_pct: float, current_price: float, atr: float, atr_multiplier: float = 2.0) -> int:
    """
    计算基于 CPR 固定风险与 ATR 止损的买入股数
    """
    risk_amount = equity * risk_pct
    stop_distance = atr * atr_multiplier
    
    if stop_distance <= 0:
        return 0
        
    shares = int(risk_amount / stop_distance)
    # A 股现货账户无杠杆: 持仓市值不得超过总资金, 防止窄止损时算出超资仓位
    max_shares_by_equity = int(equity / current_price)
    shares = min(shares, max_shares_by_equity)
    # 按 100 股整手向下取整
    shares = (shares // 100) * 100
    return shares

📝 动手练一练

编写 Python 仿真测试，对比半凯利与过度下注（f = 0.6）在 100 轮投掷硬币交易中的净值增长轨迹：

import pandas as pd
import numpy as np

def run_money_management_test():
    np.random.seed(42)
    # 模拟胜率 50%，盈亏比 2.0 的优质策略（理论全凯利 f* = (2*0.5 - 0.5)/2 = 0.25）
    p = 0.50
    b = 2.0
    kelly_info = calculate_kelly_fraction(win_rate=p, profit_loss_ratio=b, safety_factor=0.5)
    
    n_trades = 100
    outcomes = np.random.choice([b, -1.0], size=n_trades, p=[p, 1-p])
    
    # 模拟半凯利与过度下注 (f = 0.6)
    equity_half_kelly = [1.0]
    equity_overbet = [1.0]
    
    f_half = kelly_info['Fractional_Kelly']
    f_over = 0.60
    
    for r in outcomes:
        equity_half_kelly.append(equity_half_kelly[-1] * (1.0 + f_half * r))
        equity_overbet.append(max(1e-4, equity_overbet[-1] * (1.0 + f_over * r)))
        
    print("================ 经典资金管理模型仿真验证 ================")
    print(f"理论满仓凯利比例 f*   : {kelly_info['Full_Kelly']*100:.2f}%")
    print(f"稳健半凯利下注比例 f/2: {kelly_info['Fractional_Kelly']*100:.2f}%")
    print(f"半凯利 100 轮终态净值 : {equity_half_kelly[-1]:.4f}")
    print(f"过度下注 100 轮终态净值: {equity_overbet[-1]:.4f}")
    assert equity_half_kelly[-1] > equity_overbet[-1], "半凯利资金管理未能胜过过度下注！"
    print("✅ 凯利公式与资金管理模型验证 PASS")
    print("========================================================")

if __name__ == '__main__':
    run_money_management_test()

运行结果输出：

================ 经典资金管理模型仿真验证 ================
理论满仓凯利比例 f*   : 25.00%
稳健半凯利下注比例 f/2: 12.50%
半凯利 100 轮终态净值 : 257.4004
过度下注 100 轮终态净值: 0.2788
✅ 凯利公式与资金管理模型验证 PASS
========================================================

本章小结

1. 永远使用分数凯利（Half-Kelly）：实战中参数估计具有不确定性，半凯利能在牺牲微小几何增长的同时大幅降低回撤深度。
2. 严防过度杠杆引发几何破产：当下注比例超过理论最优值 2 倍时，长期的期望复合增长率必然衰减为负。
3. 结合 ATR 动态核算股数：通过 CPR 模型让每笔交易承担等量资本风险，实现不同波动率标的间的风险平价。

📋 行动清单 (Action Checklist)

• 运行凯利公式仿真测试代码，修改胜率与盈亏比观察最优下注比例变化；
• 编写结合单品种最大仓位限制与 CPR 资金模型的头寸规模综合分配器；
• 预习下一节，掌握用 Python 面向对象编程实现完整的资金管理模块。

— 小象教研组