平稳性检验与特征

小象实战讲义 · 时间序列分析

当我们拿到一组按时间顺序排列的数据时，首要任务并非直接建模，而是要先理解数据的“性格”。时间序列分析对数据有两个核心性质要求：平稳性与非纯随机性。本节将聚焦于第一个要求——平稳性。我们将系统学习如何通过特征统计量、数学定义和统计性质来理解平稳性，并掌握通过时序图和自相关图进行平稳性检验的实用方法。学完本节，你将能够判断一个时间序列是否具备平稳性，并理解为何平稳性是后续建模分析的重要基石。

💡 核心导读

• 特征统计量：理解时间序列分析中四个核心统计量（均值、方差、自协方差、自相关系数）的定义与计算，它们是描述序列特性的基础工具。
• 平稳性定义：掌握严平稳（分布平稳）与宽平稳（低阶矩平稳）两种定义的数学表述，理解二者之间的关系与适用场景。
• 平稳序列性质：推导平稳时间序列所具有的常数均值、常数方差，以及自协方差/自相关系数仅依赖于时间间隔（而非起止点）的核心性质。
• 平稳性意义：从数据结构的特殊性出发，理解为何平稳性假设能极大简化分析、减少待估参数并提高估计精度。
• 平稳性检验：学习通过观察时序图（判断趋势、周期、方差齐性）和自相关图（判断短期相关性衰减）这两种直观的图检验方法来判断序列的平稳性。

特征统计量：描述序列的“尺子”

在深入平稳性之前，我们需要一套描述时间序列特征的“尺子”，即特征统计量。与横截面数据不同，时间序列的每个观测点 $X_t$ 都对应一个特定的时间 $t$，它们可能来自不同的概率分布。因此，在定义统计量时，必须明确其时间属性。

均值与方差

• 均值：反映序列在特定时点 $t$ 的平均水平。 $$\mu_t = E(X_t) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dF_t(x)$$ 其中 $F_t(x)$ 是 $X_t$ 的分布函数。对于掷骰子这类离散分布，均值计算为 $\sum x \cdot P(X_t = x)$。
• 方差：刻画序列在时点 $t$ 的离散程度。 $$\sigma_t^2 = D(X_t) = E[(X_t - \mu_t)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu_t)^2 \, dF_t(x)$$ 计算上常用公式 $D(X_t) = E(X_t^2) - [E(X_t)]^2$。

自协方差与自相关系数

时间序列分析的核心是研究序列自身在不同时期间的相关关系，即“自相关”。

• 自协方差函数：衡量序列在时点 $t$ 和 $s$ 的协同变化程度。 $$\gamma(t, s) = \text{Cov}(X_t, X_s) = E[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]$$
• 自相关系数函数：对自协方差进行标准化，消除了量纲影响，便于比较不同序列或不同间隔的相关性强弱。其绝对值越接近1，相关性越强；越接近0，相关性越弱。 $$\rho(t, s) = \frac{\gamma(t, s)}{\sqrt{D(X_t)} \sqrt{D(X_s)}}$$ 自相关系数满足 $|\rho(t, s)| \leq 1$，且 $\rho(t, t) = 1$。

平稳时间序列的定义与性质

两种平稳性定义

1. 严平稳 (Strict Stationarity)：条件最苛刻。要求序列 所有统计性质 都不随时间推移而改变。即对于任意正整数 $m$ 和任意时间点 $t_1, t_2, \ldots, t_m$，以及任意时间平移 $\tau$，其联合分布保持不变： $$F_{t_1, t_2, \ldots, t_m}(x_1, x_2, \ldots, x_m) = F_{t_1+\tau, t_2+\tau, \ldots, t_m+\tau}(x_1, x_2, \ldots, x_m)$$ 这被称为“分布平稳”。在实际中，由于我们无法获知真实分布，严平稳的验证极其困难。

2. 宽平稳 (Weak Stationarity)：条件更宽松实用。只要求序列的 低阶矩（一阶和二阶矩） 平稳。具体定义为，如果序列 $\{X_t\}$ 满足：

   • 均值函数为常数：$E(X_t) = \mu, \quad \forall t$
   • 方差存在且为常数：$E(X_t^2) < \infty$，且 $D(X_t) = \sigma^2, \quad \forall t$
   • 自协方差函数仅依赖于时间间隔：$\gamma(t, s) = \gamma(k, 0)$，其中 $k = s - t$。即 $\gamma(t, s) = \gamma(k)$。 则称 $\{X_t\}$ 为宽平稳序列。宽平稳也称为二阶矩平稳或协方差平稳。

严平稳与宽平稳的关系

• 一般情况：严平稳（且低阶矩存在）可以推出宽平稳，反之则不成立。因为宽平稳只约束了低阶矩，而严平稳约束了整个分布。
• 特例：
  • 不存在低阶矩的严平稳序列（如服从柯西分布）不是宽平稳序列。
  • 对于服从多元正态分布的序列，宽平稳与严平稳等价。因为正态分布完全由其一阶和二阶矩决定。

平稳序列的统计性质

由宽平稳的定义，可以直接推导出其核心性质：

1. 常数均值：$E(X_t) = \mu$。
2. 常数方差：$D(X_t) = \gamma(0) = \sigma^2$。
3. 自协方差/自相关系数仅依赖于时间间隔：
   • 自协方差函数：$\gamma(k) = \text{Cov}(X_t, X_{t+k})$
   • 自相关系数函数：$\rho(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}$ 其中 $k$ 为延迟阶数 (lag)。这意味着，$X_t$ 与 $X_{t+k}$ 的相关性，只与它们相隔的期数 $k$ 有关，而与具体的起始时间 $t$ 无关。

自相关系数 $\rho(k)$ 的性质

1. 规范性：$\rho(0) = 1$，且 $|\rho(k)| \leq 1, \quad \forall k$。
2. 对称性：$\rho(k) = \rho(-k)$。
3. 非负定性：由自相关系数组成的自相关矩阵是半正定矩阵。
4. 非唯一性：一个平稳序列对应唯一的自相关函数，但一个自相关函数可能对应多个不同的平稳序列。这为后续模型识别带来一定挑战。

为何要求平稳性？——平稳性的意义

时间序列数据结构特殊：每个随机变量（每个时点）通常只有一个观测值。这与横截面数据（每个变量有多个独立样本）形成鲜明对比。

如果不假设平稳性，意味着我们需要用仅有的一个观测值 $X_t$ 去估计该时点分布的均值 $\mu_t$ 和方差 $\sigma_t^2$，这显然是不可能的，参数个数远多于样本数。

平稳性假设（尤其是宽平稳）通过要求 $\mu_t = \mu$ 和 $\sigma_t^2 = \sigma^2$，将需要估计的多个参数（$\mu_1, \mu_2, \ldots$ 和 $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots$）缩减为少数几个常数参数（$\mu, \sigma^2$ 和 $\gamma(k)$）。这使得我们可以利用序列所有时点的观测值共同来估计这些参数，例如：

• 均值估计：$\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} X_t$
• 自协方差估计：$\hat{\gamma}(k) = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n-k} (X_t - \bar{X})(X_{t+k} - \bar{X})$

平稳性的意义在于：它极大地减少了随机变量的个数，增加了用于估计每个特征统计量的有效样本容量，从而简化了分析难度，并提高了估计的精度和可靠性。它是经典时间序列分析方法得以实施的关键前提。

平稳性的检验：图检验方法

在实际分析中，我们拿到数据后的第一步就是进行平稳性检验。最直观的方法是图检验。

1. 时序图检验

将序列值 $X_t$ against 时间 $t$ 绘制成图。

• 平稳序列的时序图特征：序列始终在一个常数值（均值）附近随机波动，且波动的幅度（方差）大致恒定，没有明显的趋势性（持续上升或下降）或周期性（规律性的起伏）。
• 非平稳序列的时序图特征：
  • 明显趋势：如持续增长的身高数据、逐年上升的GDP数据。
  • 明显周期：如月度气温数据、季度销售额数据。
  • 方差非恒定：波动幅度随时间逐渐扩大或缩小（异方差）。

2. 自相关图检验

绘制自相关系数 $\rho(k)$ 随延迟阶数 $k$ 变化的图形（通常包含置信区间）。

• 平稳序列的自相关图特征：通常具有 短期相关性。自相关系数 $\rho(k)$ 会随着 $k$ 的增大而 快速衰减至0附近，并很快落入随机区间（置信带）内。
• 非平稳序列的自相关图特征：
  • 趋势序列：自相关系数衰减速度非常慢，甚至长期保持较高正值。
  • 周期序列：自相关系数呈周期性波动，不会衰减至0。
  • 异方差序列：可能表现出不规则的相关图模式。

Python 实战：平稳性特征与检验

让我们通过 Python 来模拟一个平稳的 AR(1) 过程，并计算其特征统计量，同时进行单位根检验（一种更严格的平稳性统计检验）。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, acf
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf

# 设置随机种子，确保结果可复现
np.random.seed(42)
n = 200

# 1. 模拟一个平稳的 AR(1) 过程: X_t = 0.6 * X_{t-1} + ε_t, 其中 ε_t ~ N(0,1)
eps = np.random.normal(0, 1, n)  # 生成白噪声
x = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
    x[t] = 0.6 * x[t - 1] + eps[t]  # AR(1) 模型递推

# 2. 绘制时序图
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x)
plt.title('平稳 AR(1) 序列时序图')
plt.xlabel('时间 t')
plt.ylabel('X_t')
plt.axhline(y=np.mean(x), color='r', linestyle='--', label=f'均值 ≈ {np.mean(x):.2f}')
plt.legend()

# 3. 计算样本自相关系数 (ACF) 并绘制自相关图
plt.subplot(1, 2, 2)
plot_acf(x, lags=20, alpha=0.05, title='平稳 AR(1) 序列自相关图 (ACF)') # alpha=0.05 给出95%置信区间
plt.xlabel('延迟阶数 k')
plt.tight_layout()
plt.show()

# 4. 定量计算：前5阶样本自相关系数
autocorr = acf(x, nlags=5)
print("前 5 阶样本自相关系数 (ACF):")
for k, rho in enumerate(autocorr):
    print(f"  ρ({k}) = {rho:.4f}")

# 5. 进行 Augmented Dickey-Fuller (ADF) 单位根检验
# 原假设 H0: 序列具有单位根（非平稳）
# 备择假设 H1: 序列没有单位根（平稳）
adf_res = adfuller(x)
print("\nADF 单位根检验结果:")
print(f"  检验统计量 (ADF Statistic): {adf_res[0]:.4f}")
print(f"  p-value: {adf_res[1]:.4e}")
print(f"  临界值: 1%={adf_res[4]['1%']:.4f}, 5%={adf_res[4]['5%']:.4f}, 10%={adf_res[4]['10%']:.4f}")

# 判断准则：若 p-value < 显著性水平 (如0.05)，则拒绝原假设，认为序列平稳。
if adf_res[1] < 0.05:
    print("  结论: 在5%显著性水平下，拒绝原假设，序列是平稳的。")
else:
    print("  结论: 在5%显著性水平下，无法拒绝原假设，序列可能是非平稳的。")

运行上述代码，我们将得到以下输出和图表：

前 5 阶样本自相关系数 (ACF):
  ρ(0) = 1.0000
  ρ(1) = 0.5362
  ρ(2) = 0.2817
  ρ(3) = 0.1504
  ρ(4) = 0.0603
  ρ(5) = 0.1331

ADF 单位根检验结果:
  检验统计量 (ADF Statistic): -7.6523
  p-value: 1.7762e-11
  临界值: 1%=-3.4636, 5%=-2.8762, 10%=-2.5746
  结论: 在5%显著性水平下，拒绝原假设，序列是平稳的。

结果解读：

1. 时序图：序列围绕一个固定的均值（图中红线）上下随机波动，没有明显的趋势或周期，符合平稳序列的直观特征。
2. 自相关图：自相关系数 $\rho(k)$ 随着延迟阶数 $k$ 的增加而迅速衰减。从第2阶开始，ACF值已变得较小，并且很快落入蓝色阴影区域（95%置信区间）内，表明相关性迅速消失，呈现典型的平稳序列“短期相关”特征。
3. ACF数值：$\rho(1)=0.5362$ 体现了 AR(1) 模型的一阶自相关，之后各阶系数快速减小。
4. ADF检验：p-value 远小于 0.05，且检验统计量 (-7.65) 远小于 5% 临界值 (-2.88)，因此我们以很高的置信度拒绝“存在单位根”的原假设，统计上确认该序列是平稳的。

注：ADF检验是比图检验更严格的统计检验方法，后续课程会详细讲解。本节重点掌握图检验的直观判断。

📝 动手练一练

1. 观察与判断：尝试修改上面代码中 AR(1) 模型的系数。将 0.6 改为 1.01 或 0.99，重新运行代码，观察时序图和自相关图发生了怎样的变化？ADF检验的结论是否改变？这说明了什么？
2. 实战应用：从 pandas-datasets 库中加载 airline 数据集（pd.read_csv('https://raw.githubusercontent.com/jbrownlee/Datasets/master/airline-passengers.csv', header=0, index_col=0, parse_dates=True)）。绘制其时序图和自相关图，根据本节所学，直观判断该序列是否平稳，并说明理由。

参考答案：

1. 当系数改为 1.01（大于1）时，序列通常呈现爆炸性增长趋势，时序图有明显上升趋势，自相关图衰减极慢，ADF检验 p-value 会很大，结论为非平稳。这说明了模型参数对平稳性的关键影响：对于 AR(1) 模型 $X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$，保持平稳性的一个必要条件是 $|\phi| < 1$。
2. airline 数据集（航空乘客数）的时序图显示其既有长期增长趋势，又有明显的年度周期性。自相关图衰减缓慢且呈周期性波动。因此，该序列是典型的非平稳序列。

本章小结

本节我们深入探讨了时间序列分析的首要步骤——平稳性检验。我们从描述序列的基础工具（特征统计量）出发，明确了严平稳与宽平稳的数学定义，推导了平稳序列的核心性质（常数均值、常数方差、自相关仅依赖于时间间隔），并深刻理解了平稳性假设对于克服时间序列数据“样本量少”困境的重大意义。最后，我们掌握了通过时序图和自相关图进行平稳性检验的直观方法，并用 Python 进行了实战演练。

行动清单：

1. 拿到数据先看图：养成习惯，对任何时间序列数据，首先绘制其时序图和自相关图，进行初步的平稳性判断。
2. 理解统计量含义：在后续建模中，当看到 acf、pacf 图或相关检验输出时，能联系本节知识，理解其背后反映的序列平稳性及相关结构信息。
3. 为下一节做准备：思考一个问题：如果一个序列既是平稳的，同时其不同期之间又毫无相关性（即自相关系数全部接近0），这样的序列还有研究价值吗？我们下节“纯随机性检验”将解答这个问题。

— 小象教研组