📑 查看全课大纲（第 4 / 20 节）
  1. 1.时间序列分析简介
  2. 2.平稳性检验与特征
  3. 3.纯随机性检验（白噪声检验）
  4. 4.时间序列预处理代码实战
  5. 5.自回归模型（AR 模型）
  6. 6.自相关系数与偏自相关系数
  7. 7.移动平均模型（MA）与自回归移动平均模型（ARMA）
  8. 8.平稳时序模型识别与参数估计
  9. 9.模型显著性检验、优化与序列预测
  10. 10.平稳时间序列建模代码实战
  11. 11.确定性序列分解与趋势分析
  12. 12.季节效应分析与综合波动分析
  13. 13.确定性时序分析代码实战
  14. 14.差分平稳化与 ARIMA 模型
  15. 15.残差自回归模型
  16. 16.ARCH / GARCH 模型及其衍生
  17. 17.异方差检验：Portmanteau Q 检验与 LM 检验
  18. 18.随机性非平稳建模与 GARCH 实战
  19. 19.ARIMAX 模型与单位根（DF/ADF）检验
  20. 20.协整检验与误差修正模型（ECM）

时间序列预处理代码实战

约 31 分钟

📺 正在播放小象官方高清录播（支持倍速与清晰度调节）

小象实战讲义 · 时间序列分析

时间序列分析的核心在于从看似杂乱的数据中提取规律性信息。本节我们将通过Python实战，系统掌握时间序列预处理的两大基石：平稳性检验与纯随机性检验。学完本节，你将能够使用Python对任意时间序列数据进行初步诊断，判断其是否适合建模分析，为后续的ARIMA、GARCH等高级模型奠定坚实基础。

💡 核心导读

  • 平稳性检验：通过时序图直观判断，结合ADF单位根检验进行统计验证，识别序列是否具有常数均值、方差和自协方差结构
  • 纯随机性检验：使用Ljung-Box检验判断序列是否为白噪声，避免对无信息序列进行无效建模
  • 自相关分析：通过ACF/PACF图揭示序列内部的相关结构，为模型定阶提供依据
  • Python现代化实现：使用statsmodels、pandas、matplotlib等主流库替代原课程的R语言实现
  • 实战全流程：从数据读取、可视化到统计检验的完整代码演示

平稳性检验：理论与Python实现

平稳性的统计定义

在时间序列分析中，我们通常使用宽平稳（弱平稳）定义，要求序列满足以下三个条件：

  1. 常数均值：E(Xt)=μ\mathbb{E}(X_t) = \mu，对所有tt成立
  2. 常数方差：Var(Xt)=σ2\text{Var}(X_t) = \sigma^2，对所有tt成立
  3. 自协方差仅依赖于时间间隔：Cov(Xt,Xt+k)=γ(k)\text{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \gamma(k)，只与滞后阶数kk有关，与时间起点tt无关

对应的自相关系数定义为： ρ(k)=γ(k)γ(0)=Cov(Xt,Xt+k)Var(Xt)\rho(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \frac{\text{Cov}(X_t, X_{t+k})}{\text{Var}(X_t)}

平稳性的图检验方法

时序图检验

平稳序列的时序图应显示序列在常数均值附近随机波动，波动范围有界，且无明显趋势或周期性特征。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, acf, pacf
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

# 设置随机种子确保结果可复现
np.random.seed(42)

# 生成示例数据：模拟一个带漂移项的自回归过程
n = 150
dates = pd.date_range('2021-01-01', periods=n, freq='D')

# 生成数据：y_t = 0.5 + 0.6 * y_{t-1} + ε_t, ε_t ~ N(0, 1.2^2)
ε = np.random.normal(0, 1.2, n)  # 白噪声扰动
y = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
    y[t] = 0.5 + 0.6 * y[t - 1] + ε[t]

# 创建时间序列对象
series = pd.Series(y, index=dates, name='模拟时序数据')

# 绘制时序图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(series, linewidth=1.5)
plt.axhline(y=series.mean(), color='r', linestyle='--', alpha=0.7, label=f'均值线 ({series.mean():.2f})')
plt.fill_between(series.index, 
                 series.mean() - series.std(), 
                 series.mean() + series.std(), 
                 alpha=0.2, color='gray', label='±1标准差区间')
plt.title('时序图检验：模拟时间序列', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.xlabel('日期')
plt.ylabel('观测值')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

# 基础描述统计
desc_stats = series.describe()
print("=== 描述性统计 ===")
print(f"数据长度: {len(series)}")
print(f"均值: {desc_stats['mean']:.4f}")
print(f"标准差: {desc_stats['std']:.4f}")
print(f"最小值: {desc_stats['min']:.4f}")
print(f"25%分位数: {desc_stats['25%']:.4f}")
print(f"中位数: {desc_stats['50%']:.4f}")
print(f"75%分位数: {desc_stats['75%']:.4f}")
print(f"最大值: {desc_stats['max']:.4f}")

自相关图（ACF）检验

平稳序列通常具有短期相关性，随着滞后阶数kk增加，自相关系数ρ(k)\rho(k)会快速衰减到零附近。

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 绘制ACF和PACF图
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 8))

# ACF图（自相关函数）
plot_acf(series, lags=20, ax=axes[0], alpha=0.05, 
         title='自相关图（ACF）检验', color='blue')
axes[0].set_xlabel('滞后阶数')
axes[0].set_ylabel('自相关系数')
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# PACF图（偏自相关函数）
plot_pacf(series, lags=20, ax=axes[1], alpha=0.05, 
          title='偏自相关图（PACF）检验', color='green')
axes[1].set_xlabel('滞后阶数')
axes[1].set_ylabel('偏自相关系数')
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 计算具体的ACF和PACF值
acf_vals = acf(series, nlags=10, fft=False)
pacf_vals = pacf(series, nlags=10)

print("\n=== 自相关分析 ===")
print("滞后阶数 | 自相关系数(ACF) | 偏自相关系数(PACF)")
print("-" * 50)
for k in range(0, 6):
    print(f"   {k:2d}    |     {acf_vals[k]:7.4f}     |      {pacf_vals[k]:7.4f}")

ADF单位根检验

图检验方法主观性强，我们需要更客观的统计检验。Augmented Dickey-Fuller (ADF) 检验是最常用的单位根检验方法。

检验原理：

  • 原假设H0H_0：序列存在单位根（非平稳）
  • 备择假设H1H_1：序列不存在单位根（平稳）

检验模型： Δyt=α+βt+γyt−1+∑i=1pδiΔyt−i+εt\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \delta_i \Delta y_{t-i} + \varepsilon_t

其中γ=ρ−1\gamma = \rho - 1，检验γ=0\gamma = 0（存在单位根） vs γ<0\gamma < 0（平稳）。

# ADF单位根检验
print("\n=== ADF单位根检验 ===")
adf_result = adfuller(series, autolag='AIC')  # 使用AIC准则自动选择滞后阶数

adf_statistic = adf_result[0]
adf_pvalue = adf_result[1]
adf_critical_values = adf_result[4]

print(f"ADF统计量: {adf_statistic:.6f}")
print(f"p值: {adf_pvalue:.6e}")
print("\n临界值（显著性水平）:")
for key, value in adf_critical_values.items():
    print(f"  {key}: {value:.6f}")

# 判断结论
if adf_pvalue < 0.05:
    print(f"\n结论: p值({adf_pvalue:.6e}) < 0.05，拒绝原假设")
    print("      → 序列是平稳的")
else:
    print(f"\n结论: p值({adf_pvalue:.6e}) >= 0.05，不能拒绝原假设")
    print("      → 序列可能存在单位根（非平稳）")

纯随机性（白噪声）检验

白噪声的统计定义

白噪声序列{εt}\{\varepsilon_t\}满足：

  1. 零均值：E(εt)=0\mathbb{E}(\varepsilon_t) = 0，对所有tt
  2. 常数方差：Var(εt)=σ2\text{Var}(\varepsilon_t) = \sigma^2，对所有tt
  3. 无自相关：Cov(εt,εs)=0\text{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_s) = 0，对所有t≠st \neq s

即：εt∼WN(0,σ2)\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)

Ljung-Box检验原理

检验假设：

  • H0H_0：ρ1=ρ2=⋯=ρm=0\rho_1 = \rho_2 = \cdots = \rho_m = 0（序列为白噪声）
  • H1H_1：至少存在某个ρk≠0\rho_k \neq 0，1≤k≤m1 \leq k \leq m（序列非白噪声）

检验统计量： LB=n(n+2)∑k=1mρ^k2n−k∼χ2(m)LB = n(n+2) \sum_{k=1}^{m} \frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k} \sim \chi^2(m) 其中nn为样本量，mm为检验的最大滞后阶数，ρ^k\hat{\rho}_k为样本自相关系数。

Python实现白噪声检验

# 纯随机性（白噪声）检验
print("\n=== Ljung-Box白噪声检验 ===")

# 对原始序列进行白噪声检验
lb_result = acorr_ljungbox(series, lags=[6, 12, 18], return_df=True)

print("Ljung-Box检验结果:")
print("-" * 60)
print(f"{'滞后阶数':<10} {'LB统计量':<15} {'p值':<15} {'结论':<20}")
print("-" * 60)

for lag, row in lb_result.iterrows():
    lb_stat = row['lb_stat']
    p_value = row['lb_pvalue']
    
    if p_value < 0.05:
        conclusion = "拒绝H_0（非白噪声）"
    else:
        conclusion = "不能拒绝H_0（可能是白噪声）"
    
    print(f"{lag:<10} {lb_stat:<15.4f} {p_value:<15.6f} {conclusion:<20}")

# 生成并检验真正的白噪声序列
print("\n=== 对比：标准正态白噪声序列检验 ===")

# 生成标准正态白噪声
white_noise = np.random.normal(0, 1, 1000)
white_series = pd.Series(white_noise, 
                         index=pd.date_range('2021-01-01', periods=1000, freq='D'),
                         name='白噪声序列')

# 白噪声的LB检验
lb_white = acorr_ljungbox(white_series, lags=[6, 12], return_df=True)

print("白噪声序列检验结果:")
print("-" * 60)
print(f"{'滞后阶数':<10} {'LB统计量':<15} {'p值':<15} {'结论':<20}")
print("-" * 60)

for lag, row in lb_white.iterrows():
    lb_stat = row['lb_stat']
    p_value = row['lb_pvalue']
    
    if p_value < 0.05:
        conclusion = "拒绝H_0（非白噪声）"
    else:
        conclusion = "不能拒绝H_0（可能是白噪声）"
    
    print(f"{lag:<10} {lb_stat:<15.4f} {p_value:<15.6f} {conclusion:<20}")

# 绘制白噪声的时序图和ACF图
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# 原始序列时序图
axes[0, 0].plot(series, linewidth=1, color='blue')
axes[0, 0].set_title('原始序列时序图', fontsize=12)
axes[0, 0].set_xlabel('日期')
axes[0, 0].set_ylabel('观测值')
axes[0, 0].grid(True, alpha=0.3)

# 原始序列ACF图
plot_acf(series, lags=20, ax=axes[0, 1], alpha=0.05, color='blue')
axes[0, 1].set_title('原始序列ACF图', fontsize=12)
axes[0, 1].set_xlabel('滞后阶数')
axes[0, 1].set_ylabel('自相关系数')
axes[0, 1].grid(True, alpha=0.3)

# 白噪声时序图
axes[1, 0].plot(white_series[:150], linewidth=1, color='green')  # 只显示前150个点
axes[1, 0].set_title('白噪声序列时序图（前150期）', fontsize=12)
axes[1, 0].set_xlabel('日期')
axes[1, 0].set_ylabel('观测值')
axes[1, 0].grid(True, alpha=0.3)

# 白噪声ACF图
plot_acf(white_series, lags=20, ax=axes[1, 1], alpha=0.05, color='green')
axes[1, 1].set_title('白噪声序列ACF图', fontsize=12)
axes[1, 1].set_xlabel('滞后阶数')
axes[1, 1].set_ylabel('自相关系数')
axes[1, 1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

综合实战：完整预处理流程

下面我们将所有检验整合到一个完整的预处理流程中：

def time_series_preprocessing(data_series, series_name="时间序列"):
    """
    时间序列预处理完整流程
    
    参数:
    -----------
    data_series : pandas.Series
        待处理的时间序列数据
    series_name : str
        序列名称，用于输出标识
    
    返回:
    -----------
    dict : 包含所有检验结果的字典
    """
    
    print(f"=== {series_name} 预处理分析报告 ===\n")
    
    results = {}
    
    # 1. 基础描述统计
    print("1. 描述性统计")
    print("-" * 40)
    desc = data_series.describe()
    for stat, value in desc.items():
        print(f"  {stat}: {value:.6f}")
    results['description'] = desc
    
    # 2. 平稳性检验（ADF）
    print(f"\n2. 平稳性检验（ADF单位根检验）")
    print("-" * 40)
    adf_result = adfuller(data_series, autolag='AIC')
    
    adf_stat = adf_result[0]
    adf_p = adf_result[1]
    results['adf_statistic'] = adf_stat
    results['adf_pvalue'] = adf_p
    results['adf_critical_values'] = adf_result[4]
    
    print(f"  ADF统计量: {adf_stat:.6f}")
    print(f"  p值: {adf_p:.6e}")
    
    if adf_p < 0.05:
        print(f"  → 结论: 序列平稳 (p < 0.05)")
        results['is_stationary'] = True
    else:
        print(f"  → 结论: 序列非平稳 (p >= 0.05)")
        results['is_stationary'] = False
    
    # 3. 纯随机性检验（Ljung-Box）
    print(f"\n3. 纯随机性检验（Ljung-Box）")
    print("-" * 40)
    
    # 检验多个滞后阶数
    lags_to_test = [6, 12, 18]
    lb_result = acorr_ljungbox(data_series, lags=lags_to_test, return_df=True)
    results['lb_test'] = lb_result
    
    print(f"  检验滞后阶数: {lags_to_test}")
    print(f"  {'滞后阶数':<8} {'LB统计量':<12} {'p值':<15} {'结论':<20}")
    print(f"  {'-'*8} {'-'*12} {'-'*15} {'-'*20}")
    
    all_white_noise = True
    for lag, row in lb_result.iterrows():
        lb_stat = row['lb_stat']
        p_value = row['lb_pvalue']
        
        if p_value < 0.05:
            conclusion = "非白噪声"
            all_white_noise = False
        else:
            conclusion = "可能是白噪声"
        
        print(f"  {lag:<8} {lb_stat:<12.4f} {p_value:<15.6e} {conclusion:<20}")
    
    if all_white_noise:
        print(f"  → 综合结论: 序列可能是白噪声")
        results['is_white_noise'] = True
    else:
        print(f"  → 综合结论: 序列包含可提取信息（非白噪声）")
        results['is_white_noise'] = False
    
    # 4. 自相关分析
    print(f"\n4. 自相关分析")
    print("-" * 40)
    
    # 计算ACF和PACF
    acf_vals = acf(data_series, nlags=10, fft=False)
    pacf_vals = pacf(data_series, nlags=10)
    
    results['acf'] = acf_vals
    results['pacf'] = pacf_vals
    
    print(f"  前5阶自相关系数(ACF): {np.round(acf_vals[1:6], 4).tolist()}")
    print(f"  前5阶偏自相关系数(PACF): {np.round(pacf_vals[1:6], 4).tolist()}")
    
    # 5. 综合诊断建议
    print(f"\n5. 综合诊断与建模建议")
    print("-" * 40)
    
    if not results['is_stationary']:
        print("  → 序列非平稳，建议进行差分处理后再分析")
        print("  → 可考虑使用ARIMA模型（包含差分项）")
    elif results['is_white_noise']:
        print("  → 序列为白噪声，无进一步建模价值")
        print("  → 建议检查数据或更换分析对象")
    else:
        print("  → 序列平稳且包含可提取信息，适合进一步建模")
        print("  → 根据ACF/PACF截尾拖尾特征选择AR/MA/ARMA模型")
    
    return results

# 运行完整预处理流程
print("=" * 60)
preprocessing_results = time_series_preprocessing(series, "模拟自回归序列")
print("=" * 60)

📝 动手练一练

  1. 平稳性判断实战 使用以下代码生成三个不同的时间序列，分别判断它们的平稳性：

    import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

np.random.seed(123)
n = 200

# 序列1：随机游走（非平稳）
random_walk = np.cumsum(np.random.normal(0, 1, n))

# 序列2：带趋势的序列（非平稳）
trend = 0.05 * np.arange(n) + np.random.normal(0, 1, n)

# 序列3：平稳AR(1)过程
ar1 = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
    ar1[t] = 0.7 * ar1[t-1] + np.random.normal(0, 1)

# 请分别对这三个序列进行ADF检验，判断它们的平稳性

    参考答案：

    # 对随机游走序列进行ADF检验
adf_rw = adfuller(random_walk)
print(f"随机游走: ADF统计量={adf_rw[0]:.4f}, p值={adf_rw[1]:.4f}")
# 预期结果：p值 > 0.05，非平稳

# 对带趋势序列进行ADF检验
adf_trend = adfuller(trend)
print(f"带趋势序列: ADF统计量={adf_trend[0]:.4f}, p值={adf_trend[1]:.4f}")
# 预期结果：p值 > 0.05，非平稳

# 对AR(1)过程进行ADF检验
adf_ar1 = adfuller(ar1)
print(f"AR(1)过程: ADF统计量={adf_ar1[0]:.4f}, p值={adf_ar1[1]:.4f}")
# 预期结果：p值 < 0.05，平稳

  2. 白噪声检验对比 生成以下两个序列并进行Ljung-Box检验：

    from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

# 序列A：真正的白噪声
white_noise_A = np.random.normal(0, 1, 500)

# 序列B：具有自相关的序列
correlated = np.zeros(500)
for t in range(1, 500):
    correlated[t] = 0.6 * correlated[t-1] + np.random.normal(0, 1)

# 请分别对这两个序列进行滞后6阶和12阶的LB检验

    参考答案：

    # 对白噪声序列进行LB检验
lb_white = acorr_ljungbox(white_noise_A, lags=[6, 12], return_df=True)
print("白噪声序列LB检验:")
print(lb_white)
# 预期结果：p值均大于0.05，不能拒绝白噪声原假设

# 对自相关序列进行LB检验
lb_corr = acorr_ljungbox(correlated, lags=[6, 12], return_df=True)
print("\n自相关序列LB检验:")
print(lb_corr)
# 预期结果：p值均小于0.05，拒绝白噪声原假设

本章小结

本节我们系统学习了时间序列预处理的两大核心检验方法，并通过Python实战掌握了完整的分析流程：

关键要点回顾

  1. 平稳性检验是建模前提

    • 通过时序图直观判断趋势和周期性
    • 使用ADF单位根检验进行统计验证
    • 平稳序列具有常数均值、方差和仅依赖于时间间隔的自协方差

  2. 纯随机性检验避免无效建模

    • 白噪声序列无分析价值，相邻观测相互独立
    • Ljung-Box检验判断序列是否包含可提取信息
    • 非白噪声序列才值得进一步建模分析

  3. 自相关分析揭示序列结构

    • ACF图显示序列的自相关衰减模式
    • PACF图帮助识别AR模型的阶数
    • 结合ACF/PACF特征为模型选择提供依据

  4. Python现代化实现

    • 使用statsmodels库进行统计检验
    • pandas处理时间序列数据
    • matplotlib实现数据可视化

行动清单

学完本节后，你可以立即开始：

  1. 数据诊断：对你感兴趣的任何时间序列数据（股票价格、气温、销售额等）运行完整的预处理流程，判断其平稳性和随机性

  2. 代码实践：将本节提供的预处理函数封装成自己的工具库，方便后续分析直接调用

  3. 对比分析：寻找平稳与非平稳序列、白噪声与非白噪声序列的实际案例，通过对比加深理解

时间序列预处理是建模分析的第一步，也是至关重要的一步。正确的预处理能够避免”垃圾进，垃圾出”的问题，确保后续建模的有效性。在接下来的课程中，我们将基于平稳非白噪声序列，学习AR、MA、ARMA等经典时间序列模型。

— 小象教研组

配套学习资源与课件
  • 第2章课件：时间序列的预处理
    下载
  • 第2章配套代码
    下载
  • 时间序列分析推荐书籍（打包）(经典时序分析参考书合集)
    下载
  • 课程配套数据集(全课程实战数据)
    下载
🎁 免费学习资源

领取《小象 11GB VIP 课件资料包与大厂真题手册》

包含全套实战 Jupyter 源码、清洗后数据集、大厂高频面试真题与专属学员答疑交流群。

  • ✔完整 Python / 数据分析 Jupyter 实战源码
  • ✔大厂真实业务数据集与练习题
  • ✔微信扫码添加顾问免费领取；想学什么，直接告诉顾问
微信二维码：扫码添加课程顾问微信扫码添加顾问