协整检验与误差修正模型（ECM）

小象实战讲义 · 时间序列分析

在现实经济与金融数据中，许多时间序列本身是非平稳的（如GDP、股价、消费支出），但它们之间往往存在长期的均衡关系。传统的多元回归要求所有变量平稳，否则会出现“虚假回归”问题。本节将介绍如何检验非平稳序列间的长期均衡关系（协整），并建立能够同时刻画长期均衡与短期动态调整的误差修正模型，为分析非平稳多元时间序列提供严谨的统计框架。

💡 核心导读

• 从单整到协整：理解“单整”概念（序列需几阶差分才平稳），掌握协整的核心思想——多个非平稳序列的线性组合可能是平稳的，这揭示了它们之间的长期均衡关系。
• Engle-Granger 两步法：学习最经典的协整检验与建模方法：第一步建立长期静态回归，第二步检验其残差是否平稳。若平稳，则协整关系成立，并可得到长期均衡方程。
• 误差修正模型（ECM）：在协整关系基础上，构建能够描述变量如何围绕长期均衡进行短期动态调整的模型。理解误差修正项的经济含义及其系数（必须为负）的调整机制。
• Python 实战全流程：使用 statsmodels 库完整实现从单整检验、协整检验到 ECM 模型构建与解释的实证分析流程。

从单整到协整：长期均衡关系的统计定义

单整（Integration）的概念

在深入协整之前，我们需要明确描述一个序列“非平稳程度”的工具——单整阶数。

• 零阶单整 I(0)：如果序列 $\{X_t\}$ 本身是平稳的，则称其为零阶单整序列，记为 $X_t \sim I(0)$。这意味着序列不存在单位根。
• 一阶单整 I(1)：如果序列 $\{X_t\}$ 本身不平稳，但其一阶差分序列 $\{\Delta X_t\}$ 是平稳的，则称其为一阶单整序列，记为 $X_t \sim I(1)$。这意味着序列存在一个单位根。
• d 阶单整 I(d)：推广而言，如果序列 $\{X_t\}$ 需要进行 $d$ 阶差分后才能变为平稳序列，则称其为 $d$ 阶单整序列，记为 $X_t \sim I(d)$。这意味着序列存在 $d$ 个单位根。

单整的性质（线性组合的阶数）：

1. 若 $X_t \sim I(0)$，则对任意非零实数 $a, b$，有 $a + bX_t \sim I(0)$。
2. 若 $X_t \sim I(d), d>0$，则对任意非零实数 $a, b$，有 $a + bX_t \sim I(d)$。
3. 若 $X_t \sim I(0), Y_t \sim I(0)$，则对任意非零实数 $a, b$，有 $Z_t = aX_t + bY_t \sim I(0)$。
4. 若 $X_t \sim I(d), Y_t \sim I(c)$，令 $Z_t = aX_t + bY_t$（$a, b$ 为非零实数）：若 $d > c$，则 $Z_t$ 通常为 $I(d)$，即 $k = \max(d, c)$；当 $d = c$ 时，一般 $k = d$，仅当存在协整向量（特定的 $a, b$）时 $k$ 才可能小于 $d$。

第四条性质是协整思想的萌芽：两个同阶单整的非平稳序列，它们的某个线性组合可能变成更低阶（甚至零阶）的单整序列，即平稳序列。

协整（Cointegration）的定义

协整概念由 Engle 和 Granger 于1987年正式提出，解决了非平稳序列建模的难题。

定义：考虑 $k+1$ 个时间序列 $\{Y_t\}, \{X_{1t}\}, ..., \{X_{kt}\}$。如果满足：

1. 它们都是 $d$ 阶单整序列，即 $Y_t \sim I(d), X_{it} \sim I(d) (i=1,...,k)$；
2. 存在一个非零向量 $\boldsymbol{\beta} = (\beta_0, \beta_1, ..., \beta_k)^\top$，使得线性组合 $$\varepsilon_t = Y_t - \beta_0 - \beta_1 X_{1t} - ... - \beta_k X_{kt}$$ 是一个 $b$ 阶单整序列，且 $b < d$（通常 $d=1, b=0$）。

则称序列 $\{Y_t\}$ 与 $\{X_{1t}\}, ..., \{X_{kt}\}$ 之间存在 (d, b) 阶协整关系，向量 $\boldsymbol{\beta}$ 称为协整向量。$\varepsilon_t$ 称为均衡误差，它衡量了系统在 $t$ 期偏离长期均衡的程度。

最常用的情形：当 $d=1, b=0$ 时，即所有序列都是 $I(1)$，但它们的某个线性组合是 $I(0)$（平稳）。这表明，尽管各个序列独自有随机游走的趋势，但它们被一种内在的“经济引力”捆绑在一起，长期内不会偏离太远。例如，居民消费 $C_t$ 和可支配收入 $Y_t$ 都是 $I(1)$，但 $C_t - \beta Y_t$ 是平稳的，意味着消费与收入存在长期稳定的比例关系。

协整的意义：

• 避免了虚假回归：传统回归对非平稳序列建模时，即使变量间毫无关系，也可能得到显著的回归结果（高 $R^2$、显著的 $t$ 统计量），这是因为趋势主导了回归。协整关系确保了回归残差是平稳的，从而回归结果反映了真实的长期均衡关系，而非共同趋势的伪相关。
• 拓宽了建模范围：允许对非平稳序列直接建立有意义的回归模型，只要它们之间存在协整关系。

Engle-Granger 协整检验与建模两步法

Engle-Granger 两步法（EG 两步法）是检验并建立双变量协整关系最直观的方法。

第一步：长期静态回归与残差提取

假设我们怀疑 $I(1)$ 序列 $Y_t$ 和 $X_t$ 之间存在协整关系。首先，用最小二乘法（OLS）估计长期静态回归方程： $$Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + \varepsilon_t$$ 其中，$\varepsilon_t$ 为误差项。

估计后得到协整向量的估计值 $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$，并计算均衡误差的估计序列（即回归残差）： $$\hat{\varepsilon}_t = Y_t - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 X_t$$

第二步：对均衡误差进行平稳性检验

协整关系成立的核心是均衡误差 $\varepsilon_t$ 是平稳的 ($I(0)$)。因此，第二步就是对第一步得到的残差序列 $\{\hat{\varepsilon}_t\}$ 进行单位根检验（如 ADF 检验）。

• 原假设 ($H_0$)：$\hat{\varepsilon}_t$ 非平稳（即存在单位根）。这意味着 $Y_t$ 与 $X_t$ 不存在协整关系。
• 备择假设 ($H_1$)：$\hat{\varepsilon}_t$ 平稳。这意味着 $Y_t$ 与 $X_t$ 存在协整关系。

注意：由于 $\hat{\varepsilon}_t$ 是估计出来的残差，而非真实的 $\varepsilon_t$，其分布与标准的 ADF 检验不同。因此，EG 检验有自己专用的临界值表。在实践中，我们通常直接使用 statsmodels.tsa.stattools.coint 函数，它内部已经考虑了这一点，直接返回基于 EG 检验原理的统计量和 p 值。

如果检验拒绝原假设（p 值小于显著性水平，如 0.05），则认为协整关系成立。第一步估计出的方程 $Y_t = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_t$ 即为长期均衡关系。

误差修正模型（ECM）：从长期均衡到短期动态

协整关系刻画了变量间的长期均衡，但经济系统在短期常会偏离均衡。误差修正模型（Error Correction Model, ECM）正是用来描述变量如何围绕长期均衡进行短期动态调整的模型。它由长期均衡方程（协整关系）衍生而来。

ECM 模型的推导与形式

从长期均衡方程 $Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + \varepsilon_t$ 出发，考虑一阶差分形式并加入动态调整： $$\begin{aligned} \Delta Y_t &= \gamma \Delta X_t + \lambda \varepsilon_{t-1} + u_t \\ &= \gamma \Delta X_t + \lambda (Y_{t-1} - \beta_0 - \beta_1 X_{t-1}) + u_t \end{aligned}$$ 其中：

• $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$, $\Delta X_t = X_t - X_{t-1}$ 分别是 $Y$ 和 $X$ 的短期波动。
• $\varepsilon_{t-1} = Y_{t-1} - \beta_0 - \beta_1 X_{t-1}$，是上一期的均衡误差，代表了系统对长期均衡的偏离。
• $\lambda$ 称为误差修正系数，是模型的核心。它衡量了系统对上一期偏离的纠正速度。
• $\gamma$ 反映了 $X$ 的当期波动对 $Y$ 当期波动的即时影响。
• $u_t$ 为白噪声扰动项，$u_t \sim WN(0, \sigma_u^2)$。

更一般的 ECM 模型可包含常数项和更多的滞后差分项： $$\Delta Y_t = \alpha_0 + \lambda \varepsilon_{t-1} + \sum_{i=0}^{p}\gamma_i \Delta X_{t-i} + \sum_{j=1}^{q}\phi_j \Delta Y_{t-j} + u_t$$

误差修正系数的经济解释

误差修正系数 $\lambda$ 的符号和大小具有关键的经济含义：

• 符号必须为负：$\lambda < 0$。这构成了 ECM 的“负反馈”机制。
  • 若上一期 $Y$ 高于均衡值 ($\varepsilon_{t-1} > 0$)，负的 $\lambda$ 会使 $\lambda \varepsilon_{t-1} < 0$，从而对当期的 $\Delta Y_t$ 产生向下的拉力，促使 $Y$ 向均衡水平回落。
  • 若上一期 $Y$ 低于均衡值 ($\varepsilon_{t-1} < 0$)，负的 $\lambda$ 会使 $\lambda \varepsilon_{t-1} > 0$，从而对当期的 $\Delta Y_t$ 产生向上的推力，促使 $Y$ 向均衡水平回升。
• 绝对值大小反映调整速度：$|\lambda|$ 越大，系统对偏离的纠正速度越快，回归均衡的能力越强。$|\lambda|$ 越小，调整越缓慢。若 $\lambda = 0$，则不存在误差修正机制，长期均衡关系对短期动态没有约束力。

因此，一个有效的 ECM 要求 $\lambda$ 显著小于 0。

Python 实战：从协整检验到 ECM 建模

以下代码完整演示了如何用 Python 实现 EG 两步法协整检验并构建 ECM 模型。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import coint, adfuller

# 固定随机种子，确保结果可复现
np.random.seed(42)
n = 250

# ========== 1. 模拟生成具有协整关系的两个 I(1) 序列 ==========
# X_t: 一阶单整随机游走 I(1)
u_x = np.random.normal(0, 1.0, n)
x = np.cumsum(u_x) + 100.0  # 带漂移的随机游走

# 构造平稳的均衡误差 e_t: AR(1) 过程，I(0)
e = np.zeros(n)
u_e = np.random.normal(0, 0.8, n)
for t in range(1, n):
    e[t] = 0.5 * e[t-1] + u_e[t]

# Y_t: 与 X_t 具有长期均衡关系 Y_t = 1.8 * X_t + e_t + 常数
# 因此 Y_t 也是 I(1)，但与 X_t 协整
y = 1.8 * x + e + 20.0

# ========== 2. 单整阶数检验 (ADF检验) ==========
print("=== 单整阶数检验 (ADF检验) ===")
adf_x = adfuller(x)[1]
adf_y = adfuller(y)[1]
adf_dx = adfuller(np.diff(x))[1]
adf_dy = adfuller(np.diff(y))[1]

print(f"X 序列: 原始p值={adf_x:.4f} (I(1): {adf_x > 0.05}), 一阶差分后p值={adf_dx:.4e}")
print(f"Y 序列: 原始p值={adf_y:.4f} (I(1): {adf_y > 0.05}), 一阶差分后p值={adf_dy:.4e}")
print("结论：X 和 Y 均为 I(1) 序列。\n")

# ========== 3. Engle-Granger 协整检验 ==========
print("=== Engle-Granger 协整检验 ===")
# 使用 statsmodels 的 coint 函数，它基于 EG 原理
coint_stat, coint_pval, coint_crit_vals = coint(y, x, trend='c', autolag='AIC')
print(f"协整检验统计量 = {coint_stat:.4f}")
print(f"协整检验 p 值 = {coint_pval:.4e}")
print(f"存在显著协整关系 (p < 0.05): {coint_pval < 0.05}\n")

# ========== 4. EG 第一步：估计长期静态回归（协整方程） ==========
print("=== EG 第一步：长期均衡方程估计 ===")
# 添加常数项
X_static = sm.add_constant(x)
static_model = sm.OLS(y, X_static)
static_res = static_model.fit()

beta_0 = static_res.params[0]
beta_1 = static_res.params[1]
ecm_residuals = static_res.resid  # 均衡误差估计序列 ê_t

print(f"长期均衡方程: Y_t = {beta_0:.4f} + {beta_1:.4f} * X_t")
print(f"回归 R-squared: {static_res.rsquared:.4f}\n")

# ========== 5. EG 第二步：对均衡误差进行平稳性检验 (ADF) ==========
print("=== EG 第二步：均衡误差平稳性检验 ===")
adf_resid = adfuller(ecm_residuals, autolag='AIC')
print(f"均衡误差序列的 ADF 检验 p 值 = {adf_resid[1]:.4e}")
print(f"均衡误差平稳 (p < 0.05): {adf_resid[1] < 0.05}\n")

# ========== 6. 构建误差修正模型 (ECM) ==========
print("=== 构建误差修正模型 (ECM) ===")
# 准备数据：差分序列和滞后一期的均衡误差
dy = np.diff(y)  # ΔY_t
dx = np.diff(x)  # ΔX_t
ecm_lag1 = ecm_residuals[:-1]  # ê_{t-1}，误差修正项

# 构建 ECM 回归数据框
ecm_df = pd.DataFrame({
    'dy': dy,
    'dx': dx,
    'ecm_lag1': ecm_lag1
})

# 估计 ECM 模型: ΔY_t = α_0 + λ * ê_{t-1} + γ * ΔX_t + u_t
ecm_X = sm.add_constant(ecm_df[['ecm_lag1', 'dx']])
ecm_model = sm.OLS(ecm_df['dy'], ecm_X).fit()

alpha_0 = ecm_model.params['const']
lambda_ecm = ecm_model.params['ecm_lag1']  # 误差修正系数 λ
gamma_ecm = ecm_model.params['dx']         # 短期弹性系数 γ

print("ECM 模型回归结果:")
print(ecm_model.summary().tables[1])
print(f"\n误差修正系数 λ = {lambda_ecm:.4f} (p值: {ecm_model.pvalues['ecm_lag1']:.4e})")
print(f"短期影响系数 γ = {gamma_ecm:.4f} (p值: {ecm_model.pvalues['dx']:.4e})")
print(f"误差修正机制有效 (λ 显著为负): {lambda_ecm < 0 and ecm_model.pvalues['ecm_lag1'] < 0.05}")

运行结果：

=== 单整阶数检验 (ADF检验) ===
X 序列: 原始p值=0.3953 (I(1): True), 一阶差分后p值=2.3582e-29
Y 序列: 原始p值=0.3570 (I(1): True), 一阶差分后p值=3.7793e-30
结论：X 和 Y 均为 I(1) 序列。

=== Engle-Granger 协整检验 ===
协整检验统计量 = -8.6720
协整检验 p 值 = 5.9902e-13
存在显著协整关系 (p < 0.05): True

=== EG 第一步：长期均衡方程估计 ===
长期均衡方程: Y_t = 22.0976 + 1.7780 * X_t
回归 R-squared: 0.9996

=== EG 第二步：均衡误差平稳性检验 ===
均衡误差序列的 ADF 检验 p 值 = 1.3143e-12
均衡误差平稳 (p < 0.05): True

=== 构建误差修正模型 (ECM) ===
ECM 模型回归结果:
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const          0.0085      0.050      0.169      0.866      -0.091       0.108
ecm_lag1      -0.4703      0.055     -8.602      0.000      -0.578      -0.363
dx             1.7792      0.019     92.087      0.000       1.741       1.817
==============================================================================

误差修正系数 λ = -0.4703 (p值: 9.8983e-16)
短期影响系数 γ = 1.7792 (p值: 1.8814e-94)
误差修正机制有效 (λ 显著为负): True

结果解读：

1. 单整检验：X 和 Y 原始序列的 ADF p 值均大于 0.05，无法拒绝“存在单位根”的原假设，说明它们是非平稳的 $I(1)$ 序列。而它们的一阶差分序列 p 值极小，是平稳的，验证了 $I(1)$ 的判断。
2. 协整检验：EG 协整检验的 p 值约为 $5.99 \times 10^{-13}$，远小于 0.05，强烈拒绝“不存在协整关系”的原假设。表明 X 和 Y 之间存在显著的长期均衡关系。
3. 长期均衡方程：估计结果为 $\hat{Y}_t = 22.0976 + 1.7780 X_t$。这与我们模拟数据时设定的真实关系 ($Y_t = 20 + 1.8 X_t + e_t$) 非常接近，且 $R^2$ 高达 0.9996。
4. 误差修正模型：
   • 误差修正系数 $\hat{\lambda} = -0.4703$，显著为负，符合理论预期。这意味着当上一期 $Y$ 偏离长期均衡（$\hat{\varepsilon}_{t-1} \neq 0$）时，系统会在本期以约 47% 的速度进行反向调整，使其回归均衡。
   • 短期弹性系数 $\hat{\gamma} = 1.7792$，显著为正。表明 $X$ 的当期波动 ($\Delta X_t$) 会对 $Y$ 的当期波动 ($\Delta Y_t$) 产生几乎等比例的即时影响。
   • 常数项不显著，这与许多 ECM 的设定相符。

📝 动手练一练

1. 理论理解：假设检验发现居民消费 $C_t$ 和可支配收入 $Y_t$ 都是 $I(1)$ 序列，且存在协整关系 $C_t = 0.85Y_t + \varepsilon_t$。如果某期 $\hat{\varepsilon}_{t-1} = 2$（即上一期消费比长期均衡水平高出2个单位），且 ECM 模型中的误差修正系数 $\hat{\lambda} = -0.3$。请问，在其他条件不变的情况下，这一偏离会对本期的消费变动 $\Delta C_t$ 产生多大的影响？方向是增加还是减少？

2. 代码实践：修改上面实战代码中生成数据的部分，将长期均衡关系从 $Y_t = 1.8 X_t + ...$ 改为 $Y_t = 0.9 X_t + ...$，同时将均衡误差 $e_t$ 的 AR(1) 系数从 0.5 改为 0.8。重新运行整个分析流程，观察： a) 协整检验的 p 值是否依然显著？ b) 长期均衡方程的估计值 $\hat{\beta}_1$ 是否接近 0.9？ c) 误差修正系数 $\hat{\lambda}$ 的绝对值是变大了还是变小了？这反映了系统调整速度的何种变化？

参考答案：

1. 根据 ECM 模型，$\Delta C_t$ 会受到 $\lambda \varepsilon_{t-1}$ 项的影响。代入 $\hat{\lambda} = -0.3$，$\hat{\varepsilon}_{t-1}=2$，得到影响为 $-0.3 \times 2 = -0.6$。由于 $\hat{\lambda}<0$，且上一期消费偏高 ($\varepsilon_{t-1}>0$)，所以本期消费变动会受到向下的拉力，减少约 0.6 个单位，促使消费向均衡水平回调。
2. a) 协整检验应依然显著，因为改变了系数但未破坏协整关系。b) $\hat{\beta}_1$ 应接近 0.9。c) 均衡误差 $e_t$ 的持久性增强 (AR系数从0.5到0.8)，意味着偏离需要更长时间才能消除，因此误差修正系数 $\hat{\lambda}$ 的绝对值可能会变小，反映系统调整速度变慢。

本章小结

本节深入探讨了多元非平稳时间序列分析的核心工具——协整与误差修正模型。

• 核心概念：单整 描述了序列的非平稳程度；协整 揭示了多个非平稳序列间存在的长期统计均衡关系，是避免虚假回归的关键。
• 核心方法：Engle-Granger 两步法 是检验和建立协整关系的经典方法：第一步用 OLS 估计长期静态回归，第二步检验其残差是否平稳。
• 核心模型：误差修正模型 (ECM) 在协整关系的基础上建立，它巧妙地将长期均衡信息 ($\varepsilon_{t-1}$) 引入到短期差分模型 ($\Delta Y_t, \Delta X_t$) 中。误差修正系数 $\lambda$（必须显著为负）量化了系统向长期均衡回调的速度与力度。
• 实战流程：完整的分析流程包括：1) 单整阶数检验；2) 协整关系检验；3) 估计长期均衡方程；4) 构建并解释 ECM 模型。

行动清单：

1. 检验你的数据：拿到一组可能存在关联的经济时间序列（如汇率、利率、股价指数），首先用 ADF 检验判断其单整阶数。
2. 寻找长期关系：如果序列同阶单整（如都是 $I(1)$），立即使用 statsmodels.tsa.stattools.coint 函数进行协整检验，探寻它们之间是否隐藏着长期均衡。
3. 建模短期动态：一旦确认协整关系，尝试构建 ECM 模型。重点关注误差修正项系数的符号和显著性，这是模型是否有效的“试金石”。

— 小象教研组