ARCH / GARCH 模型及其衍生

异方差的性质与条件异方差模型

小象实战讲义 · 时间序列分析

在时间序列建模中，我们通常假设模型的残差项满足零均值、无自相关和同方差（方差恒定）的经典假设。然而，实际数据，尤其是金融时间序列，常常违背同方差假设，表现出异方差特性——残差的方差随时间变化。忽视异方差会导致参数显著性检验失效、模型预测精度下降。本节将系统讲解异方差的定义、影响、诊断方法，并重点介绍处理异方差的两类核心方法：方差齐性变换和条件异方差模型（ARCH/GARCH 及其衍生模型），帮助您掌握处理波动聚集现象的关键技术。

💡 核心导读

• 异方差的本质与影响：理解异方差如何导致参数显著性检验犯纳伪错误，使模型推断失效。
• 异方差的直观诊断：掌握通过残差图、残差平方图识别递增型、递减型和综合型异方差模式。
• 方差齐性变换：学习在已知异方差函数形式时，通过数学变换（如对数变换）将异方差序列转化为同方差序列的方法。
• ARCH/GARCH 模型原理：深入理解条件异方差模型如何通过残差平方的自回归/移动平均结构来刻画波动率的时变性。
• GARCH 模型家族：了解 EGARCH（非对称效应）、IGARCH（单位根）、GARCH-M（风险溢价）等衍生模型的应用场景与模型结构。

异方差的定义、影响与诊断

异方差的定义

在经典的时间序列模型中，我们假定随机误差项 $\varepsilon_t$ 满足： $$\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$$ 即零均值、无自相关且方差 $\sigma^2$ 为常数。

异方差 是指随机误差序列的方差会随时间变化： $$\text{Var}(\varepsilon_t) = h(t)$$ 其中 $h(t)$ 是时间的函数。这意味着 $\varepsilon_t$ 的波动幅度并非恒定，而是随时间呈现某种规律性变化。

异方差的影响

忽视异方差的存在会导致严重后果：

1. 残差方差被严重低估：使用普通最小二乘法（OLS）估计的残差方差 $s^2$ 会系统性小于真实方差 $\sigma_t^2$。
2. 参数显著性检验失效：在回归系数的 t 检验中，检验统计量 $t = \hat{\beta}/s_{\hat{\beta}}$。当 $s_{\hat{\beta}}$ 被低估时，t 统计量会被高估，使得我们更容易拒绝“系数为零”的原假设，从而犯第一类错误（去真）——错误地拒绝了系数为零的真原假设，将不显著的变量误判为显著。
3. 模型拟合精度下降：基于错误方差估计的置信区间和预测区间将不再可靠，最终影响模型的整体预测性能。

异方差的直观诊断

1. 残差图

将残差 $\varepsilon_t$ 关于时间 $t$ 绘制散点图，观察其波动范围。

• 同方差（方差齐性）：残差点随机、均匀地分布在两条平行的水平带内。
• 异方差：
  • 递增型：残差波动范围随时间扩大（如喇叭口张开）。
  • 递减型：残差波动范围随时间缩小（如喇叭口收紧）。
  • 综合型：波动范围呈现先扩大后缩小等复杂模式。

2. 残差平方图

由于 $\text{Var}(\varepsilon_t) = E(\varepsilon_t^2)$（当 $E(\varepsilon_t)=0$ 时），考察残差平方序列 $\varepsilon_t^2$ 是否平稳是诊断异方差的直接方法。如果 $\varepsilon_t^2$ 呈现出明显的趋势或周期性，则表明存在异方差。

示例：美国短期国库券月度收益率 对美国1963年4月至1971年7月短期国库券月度收益率序列进行一阶差分以消除趋势后，其残差图在1969年前后显示出明显的波动率突变，残差平方图也验证了该时段方差显著增大，这是典型的异方差（波动聚集）现象。

异方差的处理方法

处理异方差主要有两种思路，选择取决于我们是否已知异方差函数 $h(t)$ 的具体形式。

方差齐性变换

适用场景：序列存在异方差，且方差与序列水平（均值）之间存在确定的函数关系，即 $\sigma_t^2 = h(\mu_t)$，其中 $h(\cdot)$ 已知。

核心思想：寻找一个转换函数 $g(\cdot)$，对原始序列 $x_t$ 进行变换，使得变换后的序列 $y_t = g(x_t)$ 满足方差齐性。

数学推导： 假设 $x_t$ 的均值 $\mu_t$ 已知，且 $\sigma_t^2 = h(\mu_t)$。对转换函数 $g(x_t)$ 在 $\mu_t$ 处进行一阶泰勒展开： $$g(x_t) \approx g(\mu_t) + g'(\mu_t)(x_t - \mu_t)$$ 则变换后序列的方差近似为： $$\text{Var}[g(x_t)] \approx [g'(\mu_t)]^2 \cdot \text{Var}(x_t) = [g'(\mu_t)]^2 \cdot h(\mu_t)$$ 为使 $\text{Var}[g(x_t)]$ 为常数 $C$，需满足： $$g'(\mu_t) = \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{h(\mu_t)}}$$ 不失一般性，令 $C=1$，则有： $$g'(\mu_t) = \frac{1}{\sqrt{h(\mu_t)}}$$ 通过积分即可求解 $g(\cdot)$。

常见特例：当 $\sigma_t = \mu_t$，即 $h(\mu_t) = \mu_t^2$ 时，$g'(\mu_t) = 1/\mu_t$，解得 $g(\mu_t) = \ln(\mu_t)$。因此，对原始序列取自然对数变换，即可实现方差齐性。

实战示例：对前述美国短期国库券收益率序列 $x_t$，假设 $\sigma_t = x_t$，进行对数变换 $y_t = \ln(x_t)$。对 $y_t$ 进行一阶差分后，新序列的残差图显示波动趋于平稳，且 Ljung-Box 白噪声检验 p 值均大于 0.05，表明确实消除了异方差。最终拟合模型为： $$\nabla \ln(x_t) = \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$$ 该模型拟合效果良好，且可通过指数变换反推原始序列的预测值。

条件异方差模型

适用场景：异方差函数形式未知，或序列波动呈现“集群效应”（波动在一段时间内持续较高，另一段时间内持续较低），无法用简单函数描述。

核心思想：不对原始序列进行变换，而是直接为时变的方差 $\sigma_t^2$ 本身建立一个时间序列模型。最基础的框架是 ARCH 模型及其推广 GARCH 模型。

ARCH 模型

ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，自回归条件异方差）模型由 Engle (1982) 提出。其思想是：当期误差的方差 $\sigma_t^2$ 依赖于过去若干期误差的平方。

ARCH(q) 模型结构： $$\begin{aligned} x_t &= f(t, x_{t-1}, x_{t-2}, \ldots) + \varepsilon_t \\ \varepsilon_t &= \sigma_t e_t, \quad e_t \sim i.i.d. N(0, 1) \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \varepsilon_{t-2}^2 + \cdots + \alpha_q \varepsilon_{t-q}^2 \end{aligned}$$ 其中：

• 第一个方程是均值方程，用于提取序列的水平信息（如趋势、周期），$f(\cdot)$ 可以是 ARMA 等形式。
• 第二个方程定义了扰动项 $\varepsilon_t$ 由条件标准差 $\sigma_t$ 和一个标准正态白噪声 $e_t$ 相乘构成。
• 第三个方程是方差方程，表明条件方差 $\sigma_t^2$ 是过去 $q$ 期扰动平方的线性函数（一个移动平均结构）。要求 $\omega > 0, \alpha_i \ge 0$ 以保证方差为正。

模型含义：大的过去扰动（$\varepsilon_{t-i}^2$ 大）会导致大的当期波动（$\sigma_t^2$ 大），从而刻画了金融时间序列中“大波动跟着大波动，小波动跟着小波动”的波动聚集现象。

GARCH 模型

GARCH（Generalized ARCH，广义自回归条件异方差）模型由 Bollerslev (1986) 提出。它解决了 ARCH 模型有时需要很高阶数 $q$ 才能充分刻画波动持久性的问题。

GARCH(p, q) 模型结构： 均值方程与 ARCH 相同，方差方程变为： $$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \beta_i \sigma_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \alpha_j \varepsilon_{t-j}^2$$ 其中：

• $\omega > 0, \alpha_j \ge 0, \beta_i \ge 0$。
• 为保证宽平稳，还需满足 $\sum_{i=1}^{p} \beta_i + \sum_{j=1}^{q} \alpha_j < 1$。

模型含义：GARCH 模型在 ARCH 的基础上，增加了条件方差自身的滞后项 $\sigma_{t-i}^2$。这使得条件方差具有了“长期记忆性”，能够用更少的参数更灵活地刻画波动的持续性。ARCH(q) 模型是 GARCH(0, q) 的特例。

GARCH 模型的衍生模型

为适应更复杂的金融现实，GARCH 模型发展出多个变体。

1. EGARCH 模型（指数 GARCH）

特点：放松参数非负约束，并能对正负扰动进行非对称反应。 方差方程： $$\ln(\sigma_t^2) = \omega + \sum_{i=1}^{p} \beta_i \ln(\sigma_{t-i}^2) + \sum_{j=1}^{q} \alpha_j g(e_{t-j})$$ 其中 $g(e_t) = \theta e_t + \gamma (|e_t| - E|e_t|)$。

• 非对称性：当 $\theta \neq 0$ 时，$g(e_t)$ 对正负 $e_t$ 的反应不同，能刻画“杠杆效应”（坏消息比好消息引发更大波动）。
• 参数放松：对 $\ln(\sigma_t^2)$ 建模，无需对 $\alpha_j, \beta_i$ 施加非负约束。

2. IGARCH 模型（积分 GARCH）

特点：用于描述波动率具有单位根特征（持久性极强）的序列。 约束条件：在 GARCH(p, q) 中施加 $\sum_{i=1}^{p} \beta_i + \sum_{j=1}^{q} \alpha_j = 1$。 含义：此时无条件方差无穷大，条件方差序列非平稳，类似于均值方程中的随机游走。

3. GARCH-M 模型（GARCH in Mean）

特点：将风险溢价思想引入模型，允许序列的均值依赖于其波动性。 均值方程： $$x_t = \mu + \delta \sigma_t^2 + \varepsilon_t$$ 含义：$\delta$ 称为风险溢价参数。$\delta > 0$ 意味着更高的风险（波动 $\sigma_t^2$）要求更高的预期收益（均值 $\mu + \delta \sigma_t^2$），符合金融学基本理论。

Python 实战：异方差检验与 ARCH 效应诊断

下面我们使用 Python 模拟一个具有 ARCH 效应的残差序列，并进行正式的统计检验。

"""
时间序列分析 5.3 课时配套实战代码
内容：残差异方差性检验 (ARCH-LM 拉格朗日乘数检验与残差平方自相关检验)
"""
import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.stats.diagnostic import het_arch, acorr_ljungbox

# 固定随机种子，确保结果可复现
np.random.seed(42)
n = 500

# 1. 模拟具备 ARCH(1) 效应的残差过程
# 方差方程: sigma_t^2 = 0.2 + 0.6 * epsilon_{t-1}^2
# 扰动项: epsilon_t = sigma_t * eta_t, 其中 eta_t ~ N(0, 1)
omega = 0.2
alpha = 0.6
epsilon = np.zeros(n)          # 观测到的残差序列
sigma2 = np.zeros(n)           # 条件方差序列
eta = np.random.normal(0, 1, n) # 标准正态新息

# 初始化：使用无条件方差作为初始值
sigma2[0] = omega / (1 - alpha)
epsilon[0] = np.sqrt(sigma2[0]) * eta[0]

# 递归生成 ARCH(1) 过程
for t in range(1, n):
    sigma2[t] = omega + alpha * (epsilon[t-1] ** 2)
    epsilon[t] = np.sqrt(sigma2[t]) * eta[t]

# 将序列包装为 pandas Series，便于后续分析
resid = pd.Series(epsilon, name='residuals')

# 2. Engle's ARCH-LM 检验 (Lagrange Multiplier test)
# 原假设 H0: 残差序列不存在 ARCH 效应（即无异方差）
# 备择假设 H1: 存在 ARCH 效应
# nlags 指定检验考虑的滞后阶数
arch_test_result = het_arch(resid, nlags=5)
lm_statistic = arch_test_result[0]
lm_pvalue = arch_test_result[1]

# 3. 残差平方的 Ljung-Box 白噪声检验 (McLeod-Li 检验)
# 这是另一种诊断 ARCH 效应的方法：如果残差平方存在自相关，则表明存在条件异方差
resid_squared = resid ** 2
lb_test_result = acorr_ljungbox(resid_squared, lags=[5, 10], return_df=True)

# 4. 打印检验结果
print(f"样本数据量: {n}")
print(f"ARCH-LM 检验结果 (考虑5阶滞后):")
print(f"  LM 统计量: {lm_statistic:.4f}")
print(f"  p值: {lm_pvalue:.4e}")
print(f"  结论: 在5%显著性水平下{'拒绝' if lm_pvalue < 0.05 else '不拒绝'}原假设，"
      f"{'存在' if lm_pvalue < 0.05 else '不存在'}显著的 ARCH 效应。")

print(f"\n残差平方序列的 Ljung-Box 检验 (McLeod-Li 方法):")
for lag in [5, 10]:
    q_stat = lb_test_result.loc[lag, 'lb_stat']
    q_pval = lb_test_result.loc[lag, 'lb_pvalue']
    print(f"  滞后{lag}阶: Q({lag}) = {q_stat:.4f}, p值 = {q_pval:.4e}")
    print(f"      波动聚集效应显著: {q_pval < 0.05}")

运行结果：

样本数据量: 500
ARCH-LM 检验结果 (考虑5阶滞后):
  LM 统计量: 50.7098
  p值: 9.9172e-10
  结论: 在5%显著性水平下拒绝原假设，存在显著的 ARCH 效应。

残差平方序列的 Ljung-Box 检验 (McLeod-Li 方法):
  滞后5阶: Q(5) = 54.9566, p值 = 1.3325e-10
      波动聚集效应显著: True
  滞后10阶: Q(10) = 56.8717, p值 = 1.4090e-08
      波动聚集效应显著: True

结果解读：

1. ARCH-LM 检验的 p 值远小于 0.05，强烈拒绝“无异方差”的原假设。
2. 残差平方序列的 Ljung-Box 检验在滞后 5 阶和 10 阶的 p 值也均小于 0.05，表明残差平方存在显著的自相关性，即波动具有聚集性。
3. 两项检验结论一致，确认我们模拟的序列存在强烈的条件异方差（ARCH）效应。在实际分析中，若对某个金融时间序列的残差进行此类检验得到类似结果，就应当考虑使用 ARCH/GARCH 类模型进行建模。

📝 动手练一练

1. 异方差影响分析：假设在一个线性回归模型中，真实残差方差 $\text{Var}(\varepsilon_t) = t$（随时间递增），但我们误用 OLS 并假设同方差进行 t 检验。试定性分析，相较于使用正确的异方差稳健标准误，OLS 的 t 统计量会偏大还是偏小？这会导致犯第一类错误还是第二类错误的概率增加？

2. 模型识别：观察以下两个场景，判断分别适合采用方差齐性变换还是条件异方差模型，并简述理由。

   • 场景 A：某商品日销售额序列，其残差图显示波动幅度与销售额水平成正比。
   • 场景 B：股指日收益率序列，其残差平方的自相关图显示在滞后 1 阶和 4 阶有显著峰值。

参考答案：

1. OLS 低估了标准误，导致 t 统计量被高估（偏大）。这使得我们更容易拒绝“系数为零”的原假设，从而增加犯第一类错误（去真）的概率：OLS 低估标准误 → t 被高估 → 增加第一类错误（去真）概率，名义显著性水平（size）失真。
2. • 场景 A：适合方差齐性变换。因为异方差形式明确（方差与水平成正比），可尝试对数变换。
   • 场景 B：适合条件异方差模型。因为异方差呈现自相关结构（波动聚集），且无明显简单函数形式，适合用 ARCH/GARCH 模型刻画。

本章小结

本节深入探讨了时间序列分析中一个常见但危害巨大的问题——异方差。我们系统地学习了：

• 异方差的本质：残差方差随时间变化，违背经典假设。
• 异方差的诊断：通过残差图、残差平方图进行直观判断，并利用 ARCH-LM 检验、残差平方的 Ljung-Box 检验进行统计验证。
• 异方差的处理：
  1. 方差齐性变换：在已知方差与均值函数关系时，通过数学变换（如取对数）消除异方差。
  2. 条件异方差模型：当异方差形式未知或呈现波动聚集时，直接为时变方差建模。
     • ARCH(q)：用过去 q 期扰动平方的移动平均来刻画当期波动。
     • GARCH(p, q)：在 ARCH 基础上加入方差自身的自回归项，能以更少参数刻画波动持久性，是更常用的模型。
     • 衍生模型：EGARCH（处理非对称杠杆效应）、IGARCH（描述单位根波动）、GARCH-M（引入风险溢价）等，用于解决特定问题。

行动清单：

1. 诊断先行：在完成任何时间序列模型（如 ARIMA）拟合后，务必绘制残差图与残差平方图，并至少进行一项正式的 ARCH 效应检验（如 ARCH-LM）。
2. 模型选择：若诊断出异方差，根据其表现形式选择处理工具。对于金融收益率等典型波动聚集序列，应优先掌握 GARCH(1,1) 模型的应用。
3. Python 实践：使用 arch 库的 arch_model 函数练习拟合 GARCH 模型，并比较不同模型（如 GARCH, EGARCH）的拟合效果。

— 小象教研组