第二换元法

不定积分的第二换元法

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

上一节我们学习了第一换元法（凑微分法），其核心在于“凑”出一个中间变量。本节课我们将学习另一种强有力的积分工具——第二换元法。它通过引入一个全新的变量代换，将复杂的被积表达式转化为我们熟悉的基本积分形式，是处理含有根号、平方和差等特殊结构积分的利器。掌握它，你将能求解更多类型的原函数。

💡 核心导读

本节我们将深入探讨第二换元法，你将学到：

• 方法原理：理解“设 $x = \phi(t)$”这一反向代换的核心思想与操作步骤。
• 三角换元套路：掌握针对 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$ 三类常见根式结构的标准三角代换。
• 计算与回代：学习代换后的积分计算，以及如何将关于 $t$ 的结果最终表示为关于 $x$ 的函数。
• 定义域考量：认识到代换过程中定义域匹配的重要性，以保证代换的可逆性与根式开方的正负号确定。

方法原理与步骤

第二换元法的思路与第一换元法恰好相反。当我们面对一个不易直接求解的积分 $\int f(x) , dx$ 时，我们主动地引入一个新的变量 $t$，令原来的积分变量 $x$ 等于 $t$ 的某个函数： $$x = \phi(t)$$ 其中，我们要求函数 $\phi(t)$ 是可导的，并且存在反函数 $t = \phi^{-1}(x)$。这个要求保证了代换的可逆性，使得我们最终能将结果用 $x$ 表示。

进行代换 $x = \phi(t)$ 后，我们有 $dx = \phi’(t) , dt$。于是原积分变为： $$\int f(x) , dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi’(t) , dt$$ 我们的目标是，右边的这个关于 $t$ 的积分 $\int g(t) , dt$ 比原积分更容易求解。假设我们求出了它的原函数 $G(t) + C$，那么最后一步就是通过反函数 $t = \phi^{-1}(x)$ 将变量回代： $$\int f(x) , dx = G(\phi^{-1}(x)) + C$$

步骤总结：

1. 选择代换：根据被积函数 $f(x)$ 的结构，选择合适的代换 $x = \phi(t)$。
2. 计算微分：求出微分 $dx = \phi’(t) , dt$。
3. 代入积分：将 $x$ 和 $dx$ 全部用 $t$ 表示，得到新积分 $\int g(t) , dt$。
4. 求解新积分：计算 $G(t) = \int g(t) , dt$。
5. 变量回代：利用 $t = \phi^{-1}(x)$，将结果 $G(t) + C$ 写回关于 $x$ 的表达式。

与第一换元法“天马行空”的凑微分思维不同，第二换元法有几种非常固定的“套路”，其中最经典、最常用的就是三角换元法。

三角换元法（一）：$\sqrt{a^2 - x^2}$

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z”/>​ 型

考虑积分 $\int \sqrt{a^2 - x^2} , dx$，其中 $a > 0$。被积函数 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 让人联想到半径为 $a$ 的上半圆的方程 $y = \sqrt{a^2 - x^2}$。在单位圆 ($a=1$) 中，这正是 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 的关系。这提示我们可以使用三角恒等式来消去根号。

标准代换：令 $x = a \sin t$。这里也可以令 $x = a \cos t$，但通常使用正弦。 为了确保代换 $x = a \sin t$ 是单调可逆的（即存在反函数），我们需要限制 $t$ 的取值范围。由于 $x \in [-a, a]$，我们通常取 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。在这个区间内，$\cos t > 0$，这有助于我们简化后续的根号运算。

进行代换：

• $x = a \sin t$
• $dx = a \cos t , dt$
• $\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2 \cos^2 t} = a |\cos t|$

由于我们限定 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，有 $\cos t > 0$，因此 $|\cos t| = \cos t$。于是原积分化为： $$\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - x^2} , dx &= \int (a \cos t) \cdot (a \cos t , dt) \ &= a^2 \int \cos^2 t , dt \end{aligned}$$

接下来计算 $\int \cos^2 t , dt$。利用三角降幂公式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$： $$\begin{aligned} a^2 \int \cos^2 t , dt &= a^2 \int \frac{1 + \cos 2t}{2} , dt \ &= \frac{a^2}{2} \int (1 + \cos 2t) , dt \ &= \frac{a^2}{2} \left( t + \frac{1}{2} \sin 2t \right) + C \ &= \frac{a^2}{2} t + \frac{a^2}{4} \sin 2t + C \end{aligned}$$

再利用倍角公式 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$，得到： $$\text{原式} = \frac{a^2}{2} t + \frac{a^2}{2} \sin t \cos t + C$$

最后，我们需要将变量 $t$ 回代为 $x$。

• 由 $x = a \sin t$，得 $\sin t = \frac{x}{a}$，且 $t = \arcsin(\frac{x}{a})$。
• 在 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内，$\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$。

代入上式： $$\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - x^2} , dx &= \frac{a^2}{2} \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \frac{a^2}{2} \cdot \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} + C \ &= \frac{a^2}{2} \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C \end{aligned}$$

这是一个非常重要的积分公式，建议熟记。

import sympy as sp

# 使用 sympy 验证积分公式
x, a = sp.symbols('x a', positive=True, real=True)
expr = sp.sqrt(a**2 - x**2)
integral_result = sp.integrate(expr, x)
print("Sympy 计算的积分结果：")
sp.pprint(integral_result)
print("\n与我们推导的公式对比：")
our_result = (a**2/2)*sp.asin(x/a) + (x/2)*sp.sqrt(a**2 - x**2)
print("两者之差为：")
sp.pprint(sp.simplify(integral_result - our_result))
# 输出应为常数，验证公式正确性

三角换元法（二）：$\sqrt{a^2 + x^2}$

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z”/>​ 型

现在考虑积分 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} , dx$。被积函数中的 $a^2 + x^2$ 让人联想到恒等式 $1 + \tan^2 t = \sec^2 t$。

标准代换：令 $x = a \tan t$。 为了确保可逆性，通常取 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。在此区间内，$\sec t > 0$。

进行代换：

• $x = a \tan t$
• $dx = a \sec^2 t , dt$
• $\sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2 \tan^2 t} = \sqrt{a^2 \sec^2 t} = a |\sec t| = a \sec t$

于是原积分化为： $$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} , dx &= \int \frac{1}{a \sec t} \cdot a \sec^2 t , dt \ &= \int \sec t , dt \end{aligned}$$

积分 $\int \sec t , dt$ 是一个需要记忆的结论。其推导过程涉及一些技巧（如分子分母同乘以 $\sec t + \tan t$），结果为： $$\int \sec t , dt = \ln |\sec t + \tan t| + C$$

现在回代。由 $x = a \tan t$，得 $\tan t = \frac{x}{a}$。为求 $\sec t$，利用 $\sec^2 t = 1 + \tan^2 t$，得 $\sec t = \sqrt{1 + (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a}$（取正号）。代入上式： $$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} , dx &= \ln \left| \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} + \frac{x}{a} \right| + C \ &= \ln \left| x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| - \ln a + C \ &= \ln \left| x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| + C_1 \quad (C_1 = C - \ln a) \end{aligned}$$

通常我们忽略常数项的合并，直接记作： $$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} , dx = \ln \left| x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| + C$$ 这是一个极其重要的公式，在后续的微分方程和最优化问题中也会出现。

三角换元法（三）：$\sqrt{x^2 - a^2}$

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z”/>​ 型

最后考虑 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} , dx$，其中 $a > 0$。这里需要特别注意，被积函数的定义域为 $x > a$ 或 $x < -a$。我们联想到恒等式 $\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$。

标准代换：令 $x = a \sec t$。 此时需要分情况讨论以保证 $x$ 与 $a \sec t$ 的符号和范围一致。

情况一：$x > a$ 此时可取 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$。在此区间内，$\sec t > 1$，且 $\tan t > 0$。

• $x = a \sec t$
• $dx = a \sec t \tan t , dt$
• $\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{a^2 \sec^2 t - a^2} = \sqrt{a^2 \tan^2 t} = a |\tan t| = a \tan t$

原积分化为： $$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} , dx &= \int \frac{1}{a \tan t} \cdot a \sec t \tan t , dt \ &= \int \sec t , dt \ &= \ln |\sec t + \tan t| + C \end{aligned}$$

回代：$\sec t = \frac{x}{a}$，$\tan t = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}$。代入得： $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} , dx = \ln \left| \frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a} \right| + C = \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C_1$$

情况二：$x < -a$ 此时 $x$ 为负。我们可以令 $x = -a \sec t$，其中 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$。经过类似的推导（请自行练习），最终会得到与情况一完全相同的结果。

因此，我们可以将两种情况统一写作： $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} , dx = \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C \quad (|x| > a)$$

📝 动手练一练

1. 计算不定积分 $\int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} , dx$。 提示：先利用三角换元 $x = 3\sin t$ 消去根号，然后进行计算。

   参考答案： 令 $x = 3\sin t, , dx = 3\cos t , dt, , t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。 $\sqrt{9-x^2} = 3\cos t$。 $$\begin{aligned} \int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} , dx &= \int \frac{9\sin^2 t}{3\cos t} \cdot 3\cos t , dt \ &= 9 \int \sin^2 t , dt \ &= 9 \int \frac{1 - \cos 2t}{2} , dt \ &= \frac{9}{2} \left( t - \frac{1}{2}\sin 2t \right) + C \ &= \frac{9}{2} t - \frac{9}{4} \sin 2t + C \ &= \frac{9}{2} t - \frac{9}{2} \sin t \cos t + C \end{aligned}$$ 回代：$t = \arcsin(\frac{x}{3}), , \sin t = \frac{x}{3}, , \cos t = \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$。 最终结果：$\frac{9}{2} \arcsin(\frac{x}{3}) - \frac{x}{2} \sqrt{9-x^2} + C$。

2. 利用公式，快速写出 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} , dx$ 的结果。 提示：识别出 $a=2$，直接套用 $\sqrt{a^2+x^2}$ 型的积分公式。

   参考答案： 根据公式 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} , dx = \ln | x + \sqrt{x^2 + a^2} | + C$，令 $a=2$，得： $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} , dx = \ln | x + \sqrt{x^2 + 4} | + C$。

本章小结

本节我们系统学习了不定积分的第二换元法，特别是其中应用最广泛的三角换元法。

要点回顾：

• 核心思想：通过设 $x = \phi(t)$ 进行变量代换，将复杂积分化为易求积分，最后反解 $t$ 回代。
• 三角换元三大套路：
  1. 遇 $\sqrt{a^2 - x^2}$，设 $x = a\sin t$ 或 $x = a\cos t$。
  2. 遇 $\sqrt{a^2 + x^2}$，设 $x = a\tan t$。
  3. 遇 $\sqrt{x^2 - a^2}$，设 $x = a\sec t$（需注意定义域分段）。
• 关键公式：推导并记忆了 $\int \sqrt{a^2 - x^2} , dx$、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} , dx$ 的结果，它们在后续学习中会频繁出现。
• 注意事项：代换时必须关注变量的取值范围，以保证代换函数的单调性（存在反函数）和根式开方的正负号。

行动清单：

1. 推导一遍：合上讲义，尝试独立推导一遍 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} , dx$ 的完整过程，直至得出对数形式的结果。
2. 分类练习：寻找或构造包含 $\sqrt{4-x^2}$、$\sqrt{x^2+1}$、$\sqrt{x^2-9}$ 的积分各一道，并用三角换元法求解，巩固对不同情形的判断。
3. 代码验证：使用 Python 的 SymPy 库对你求解的练习题目进行验算，确保结果正确，并熟悉用工具辅助学习数学的方法。

— 小象教研组