定积分的换元法

定积分的分部积分法与换元法

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在掌握了定积分的定义与基本性质后，我们面临的核心问题是如何高效、准确地计算定积分的值。本节将介绍两个强大的计算工具——分部积分法与换元法。它们是微积分基本定理的延伸应用，能将复杂的定积分转化为更易处理的形式。学完本节，你将能够系统性地处理包含乘积函数、复合函数以及具有对称性等特殊结构的定积分，为后续学习概率密度函数计算、最优化问题中的积分约束等高级内容打下坚实基础。

💡 核心导读

• 定积分分部积分公式：掌握其与不定积分公式的联系与区别，关键在于正确选择 $u$ 和 $dv$。
• 递推公式的建立：学习如何利用分部积分法为特定类型的积分（如三角函数幂次积分）建立递推关系。
• 定积分换元法：理解换元时积分上下限同步变换的原理，避免常见的上下限错误。
• 对称区间的处理技巧：掌握利用换元法（如令 $x = -t$）处理对称区间积分，简化计算。
• Wallis 积分公式：理解并记忆 $\int_0^{\pi/2} \sin^n x , dx$ 的递推公式及其奇偶次结果，这是一个重要的常用结论。

分部积分法在定积分中的应用

定积分的分部积分公式直接由不定积分的分部积分公式结合牛顿-莱布尼茨公式推导而来。

定理（定积分的分部积分法）：设函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上具有连续导数，则有 $$\int_a^b u(x) v’(x) , dx = \left. u(x)v(x) \right|_a^b - \int_a^b u’(x) v(x) , dx$$ 或简记为 $$\int_a^b u , dv = \left. uv \right|_a^b - \int_a^b v , du.$$

与不定积分的分部积分公式 $\int u , dv = uv - \int v , du$ 相比，定积分公式只是在 $uv$ 项后加上了积分上下限的取值。应用时，核心策略与不定积分一致：恰当选择 $u$ 和 $dv$，使得 $\int v , du$ 比原积分 $\int u , dv$ 更容易计算。

例题 1：计算 $\int_1^2 x \ln x , dx$。

解：选择 $u = \ln x$，$dv = x , dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{1}{2}x^2$。 应用分部积分公式： $$\begin{aligned} \int_1^2 x \ln x , dx &= \left. \frac{1}{2} x^2 \ln x \right|_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} , dx \ &= \frac{1}{2} (4 \ln 2 - 1 \cdot \ln 1) - \frac{1}{2} \int_1^2 x , dx \ &= 2 \ln 2 - \frac{1}{2} \cdot \left. \frac{x^2}{2} \right|_1^2 \ &= 2 \ln 2 - \frac{1}{4}(4 - 1) \ &= 2 \ln 2 - \frac{3}{4}. \end{aligned}$$

利用分部积分建立递推公式：Wallis 积分

分部积分法的一个重要应用是为一类具有特定形式的积分建立递推关系，从而系统性地求解。

例题 2：设 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x , dx$，其中 $n$ 为非负整数。建立 $I_n$ 的递推公式。

解：当 $n \geq 2$ 时，可以拆出一个 $\sin x$ 与 $dx$ 结合。 $$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x , dx = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1} x \cdot \sin x , dx.$$ 令 $u = \sin^{n-1} x$，$dv = \sin x , dx$，则 $du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x , dx$，$v = -\cos x$。 应用分部积分公式： $$\begin{aligned} I_n &= \left. -\sin^{n-1} x \cos x \right|$$0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} (-\cos x) \cdot (n-1)\sin^{n-2} x \cos x , dx \ &= 0 + (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x , dx. \end{aligned}In​​=−sinn−1xcosx​0π/2​−∫0π/2​(−cosx)⋅(n−1)sinn−2xcosxdx=0+(n−1)∫0π/2​sinn−2xcos2xdx.​ 因为 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，代入得 $$I_n = (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x , dx - (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^n x , dx = (n-1)I$${n-2} - (n-1)I_n. 将含 $I_n$ 的项移到等式左边： $$I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2} \quad \Rightarrow \quad n I_n = (n-1)I_{n-2}.$$ 于是得到递推公式： $$\boxed{I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \quad n \geq 2.}$$

接下来计算初值：

• $I_0 = \int_0^{\pi/2} 1 , dx = \frac{\pi}{2}$.
• $I_1 = \int_0^{\pi/2} \sin x , dx = \left. -\cos x \right|_0^{\pi/2} = 1$.

利用递推公式，可以分别得到偶数次和奇数次的通项公式（引入双阶乘记号 $n!!$）：

• 偶数次 ($n = 2k$)： $$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot I_0 = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2}.$$
• 奇数次 ($n = 2k+1$)： $$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k-2}{2k-1} \cdots \frac{2}{3} \cdot I_1 = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}.$$

这个结果称为 Wallis 积分公式，在概率论和数值分析中常有应用。

import numpy as np
import sympy as sp

# 验证 Wallis 积分递推公式
def I_n_sympy(n):
    """使用 sympy 符号积分精确计算 I_n"""
    x = sp.symbols('x')
    expr = sp.sin(x)**n
    return sp.integrate(expr, (x, 0, sp.pi/2)).evalf()

def I_n_recursive(n):
    """使用递推公式数值计算 I_n"""
    if n == 0:
        return np.pi / 2
    elif n == 1:
        return 1.0
    else:
        # 递归计算，注意使用浮点数避免整数除法
        return ((n-1) / n) * I_n_recursive(n-2)

# 测试 n=2,3,4,5
test_ns = [2, 3, 4, 5]
print("验证 Wallis 积分递推公式：")
print(f"{'n':<4} {'符号积分结果':<20} {'递推公式结果':<20} {'绝对误差':<15}")
for n in test_ns:
    exact_val = float(I_n_sympy(n))
    rec_val = I_n_recursive(n)
    error = abs(exact_val - rec_val)
    print(f"{n:<4} {exact_val:<20.12f} {rec_val:<20.12f} {error:<15.2e}")

定积分的换元法

定积分的换元法（也称变量替换法）是不定积分换元法的直接推广，但有一个关键区别：换元的同时必须同步改变积分的上下限。

定理（定积分的换元法）：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x = \varphi(t)$ 满足：

1. $\varphi(t)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$）上有连续导数；
2. 当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，$x = \varphi(t)$ 从 $\varphi(\alpha) = a$ 单调地变到 $\varphi(\beta) = b$。 则有换元公式： $$\int_a^b f(x) , dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi’(t) , dt.$$

核心要点：新变量 $t$ 的积分下限 $\alpha$ 和上限 $\beta$，由原变量 $x$ 的下限 $a$ 和上限 $b$ 通过关系式 $x = \varphi(t)$ 解出，即满足 $a = \varphi(\alpha)$，$b = \varphi(\beta)$。换元完成后，直接计算关于 $t$ 的定积分即可，无需再回代原变量。

例题 3：计算 $\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} , dx$。

解：被积函数含根式 $\sqrt{x}$，令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t , dt$。 当 $x$ 从 $0$ 变到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 变到 $1$。 进行换元： $$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} , dx &= \int_0^1 \frac{t}{1+t} \cdot 2t , dt = 2 \int_0^1 \frac{t^2}{1+t} , dt. \end{aligned}$$ 利用多项式除法：$\frac{t^2}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t}$。 所以 $$\begin{aligned} 原式 &= 2 \int_0^1 \left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right) dt \ &= 2 \left[ \frac{t^2}{2} - t + \ln|1+t| \right]_0^1 \ &= 2 \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 - 0 \right) \ &= 2 \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \right) = 2\ln 2 - 1. \end{aligned}$$

对称区间积分的换元技巧

对于在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分，通过换元 $x = -t$ 将负半轴的积分转化到正半轴，常常能合并积分式，发现抵消或简化项。

例题 4：计算 $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + e^x} , dx$。

解：区间 $[-\pi/2, \pi/2]$ 关于原点对称。首先利用积分区间可加性将其拆分： $$I = \int_{-\pi/2}^{0} \frac{\sin^2 x}{1 + e^x} , dx + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + e^x} , dx.$$ 记第一个积分为 $I_1$，第二个为 $I_2$，则 $I = I_1 + I_2$。

对 $I_1$ 作换元 $x = -t$，则当 $x: -\pi/2 \to 0$ 时，$t: \pi/2 \to 0$，且 $dx = -dt$，$\sin^2(-t) = \sin^2 t$。 $$\begin{aligned} I_1 &= \int_{-\pi/2}^{0} \frac{\sin^2 x}{1 + e^x} , dx = \int_{\pi/2}^{0} \frac{\sin^2 t}{1 + e^{-t}} \cdot (-dt) \ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 t}{1 + e^{-t}} , dt = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^t \sin^2 t}{e^t + 1} , dt. \quad \text{(分子分母同乘 } e^t) \end{aligned}$$ 注意积分变量可以任意改名，将上式中的 $t$ 改回 $x$，则 $$I_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^x \sin^2 x}{1 + e^x} , dx.$$ 于是， $$\begin{aligned} I = I_1 + I_2 &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^x \sin^2 x}{1 + e^x} , dx + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + e^x} , dx \ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{(e^x + 1) \sin^2 x}{1 + e^x} , dx = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x , dx. \end{aligned}$$ 这样，复杂的含 $e^x$ 的分母被巧妙地消去了。剩下的积分正是 Wallis 积分中的 $I_2$： $$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x , dx = I_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

技巧总结：对于对称区间上的积分 $I = \int_{-a}^{a} f(x) dx$，换元 $x=-t$ 后得到 $I = \int_{0}^{a} [f(t) + f(-t)] dt$。若 $f(x)+f(-x)$ 形式更简单，则可大幅简化计算。

📝 动手练一练

1. 练习 1：计算定积分 $\int_0^{\pi} x \sin x , dx$。 参考答案： 使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = \sin x , dx$。 $$\begin{aligned} \int_0^{\pi} x \sin x , dx &= \left. -x \cos x \right|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x , dx \ &= (-\pi \cdot (-1) - 0) + \left. \sin x \right|_0^{\pi} \ &= \pi + 0 = \pi. \end{aligned}$$

2. 练习 2：利用换元法计算 $\int_0^4 \frac{1}{1 + \sqrt{x}} , dx$。 提示：可令 $t = \sqrt{x}$。 参考答案： 令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t, dt$。当 $x: 0 \to 4$ 时，$t: 0 \to 2$。 $$\begin{aligned} \int_0^4 \frac{1}{1 + \sqrt{x}} , dx &= \int_0^2 \frac{1}{1+t} \cdot 2t , dt = 2 \int_0^2 \frac{t}{1+t} , dt \ &= 2 \int_0^2 \left( 1 - \frac{1}{1+t} \right) dt \ &= 2 \left[ t - \ln|1+t| \right]_0^2 \ &= 2[(2 - \ln 3) - 0] = 4 - 2\ln 3. \end{aligned}$$

本章小结

本节深入讲解了定积分计算的两大核心技巧：分部积分法与换元法。

要点回顾：

• 分部积分法：公式为 $\int_a^b u dv = \left. uv \right|_a^b - \int_a^b v du$。选择 $u$ 和 $dv$ 的原则是“反对幂三指”（反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数）的优先顺序，力求简化。
• 递推公式：对于形如 $\int \sin^n x , dx$、$\int \cos^n x , dx$ 或含自然数参数的积分，常通过分部积分建立递推关系。Wallis 积分公式 $\int_0^{\pi/2} \sin^n x , dx$ 及其奇偶次结论是一个重要模型。
• 换元法：核心是“换元必换限”。新变量 $t$ 的上下限 $\alpha, \beta$ 由原上下限 $a, b$ 及换元关系 $x=\varphi(t)$ 解出，满足 $a=\varphi(\alpha), b=\varphi(\beta)$。换元后直接计算关于 $t$ 的积分。
• 对称区间处理：对于 $[-a, a]$ 上的积分，换元 $x=-t$ 可将两个区间合并，往往能消去复杂项，是处理非奇非偶函数在对称区间上积分的有效手段。

行动清单：

1. 巩固公式：默写定积分的分部积分公式和换元公式，并清晰陈述其应用条件。
2. 分类练习：分别找一道需要用分部积分法、一道需要用根式换元、一道需要用对称区间换元技巧的定积分题目进行求解，体会不同方法的适用场景。
3. 代码验证：尝试用 Python 的 sympy 或 scipy.integrate 库验证本节例题和练习的结果，建立数值计算与解析推导的联系。

— 小象教研组