全微分

全微分

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在上一节中，我们学习了如何从多个方向考察二元函数的变化率，即偏导数。然而，偏导数只描述了沿坐标轴方向的局部变化。本节我们将引入一个更强大的工具——全微分，它能用一个线性表达式来整体近似函数在任意方向上的微小变化，这是理解多元函数局部线性化、梯度下降等优化算法的基础。学完本节，你将能计算多元函数的全微分，并理解其与偏导数的深刻联系与区别。

💡 核心导读

本节将带你从熟悉的“一元微分”出发，逐步构建“多元全微分”的完整知识体系：

1. 概念迁移：回顾一元函数微分的几何意义（线性近似），将其思想推广到二元函数的曲面，理解全微分的核心是“用切平面近似曲面”。
2. 严格定义：学习二元函数全微分的数学定义，掌握“全增量”、“线性主部”和“高阶无穷小”等关键术语。
3. 核心公式：推导并掌握可微函数全微分的计算公式：$dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$，并理解其向量形式（梯度点乘位移向量）。
4. 重要关系：辨析“可微”、“偏导数存在”与“偏导数连续”三者之间的关系，明确可微是更强的条件。
5. 计算实战：通过具体例题，掌握计算给定函数在某点全微分的标准流程。

从一元微分到多元微分

我们先回顾一元函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的定义。当自变量从 $x_0$ 变化 $\Delta x$ 时，函数值的增量 $\Delta y$ 可以表示为：

$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \Delta x + o(\Delta x)$$

其中 $A$ 是一个与 $\Delta x$ 无关的常数（即导数 $f’(x_0)$），$A \Delta x$ 称为线性主部，$o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小量。其几何意义是，在点 $(x_0, f(x_0))$ 附近，曲线可以用其切线 $y = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0)$ 来近似。

对于二元函数 $z = f(x, y)$，其图像是一个曲面。我们自然要问：能否在点 $(x_0, y_0)$ 附近，用一个平面来近似这个曲面？答案是肯定的，这正是全微分的几何内涵。

与一元情形类似，我们考虑自变量的全增量 $(\Delta x, \Delta y)$ 所引起的函数值的全增量 $\Delta z$：

$$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$$

如果这个全增量 $\Delta z$ 也能被分解为一个关于 $\Delta x, \Delta y$ 的线性部分，再加上一个更高阶的无穷小量，那么我们就说函数在该点可微，这个线性部分就是全微分。

二元函数全微分的定义

定义（全微分）：设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义。若函数在点 $P_0$ 处的全增量 $\Delta z$ 可表示为

$$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$$

其中 $A, B$ 是与 $\Delta x, \Delta y$ 无关的常数（仅与点 $P_0$ 有关），$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 表示自变量变化点 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ 到 $P_0$ 的距离，$o(\rho)$ 是当 $\rho \to 0$ 时比 $\rho$ 更高阶的无穷小量，即 $\lim_{\rho \to 0} \frac{o(\rho)}{\rho} = 0$。

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 可微，并称线性主部 $A \Delta x + B \Delta y$ 为函数在点 $P_0$ 的全微分，记作 $dz$ 或 $df$，即

$$dz = A \Delta x + B \Delta y$$

通常，我们将自变量的增量 $\Delta x, \Delta y$ 分别记作 $dx, dy$，并称之为自变量的微分。因此，全微分也写作：

$$dz = A dx + B dy$$

这个定义的几何解释非常直观：曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 附近，可以被一个平面 $z = z_0 + A(x - x_0) + B(y - y_0)$ 很好地近似。这个平面就是曲面在该点的切平面。

可微的条件与全微分公式

定义中的常数 $A$ 和 $B$ 究竟是什么？与一元函数类似，它们就是函数在该点的偏导数。

定理（可微的必要条件）：如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 可微，则

1. 函数在该点连续。
2. 函数在该点的两个偏导数 $f_x(x_0, y_0)$ 和 $f_y(x_0, y_0)$ 必定存在，且 $$A = f_x(x_0, y_0), \quad B = f_y(x_0, y_0)$$

证明思路：在可微定义式 $\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$ 中，令 $\Delta y = 0$，则 $\rho = |\Delta x|$。此时， $$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) = A \Delta x + o(|\Delta x|)$$ 两边同除以 $\Delta x$ 并取极限 $\Delta x \to 0$，即得 $$f_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x} = A$$ 同理可证 $B = f_y(x_0, y_0)$。

由此，我们得到了全微分公式：若 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 可微，则其全微分为

$$dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$$

这个公式可以自然地推广到 $n$ 元函数 $u = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$：

$$du = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n$$

向量形式：全微分公式有非常简洁的向量表示。记位移向量 $d\mathbf{x} = (dx, dy)^T$，并定义函数在点 $\mathbf{x}_0$ 的梯度（Gradient）为向量 $$\nabla f(\mathbf{x}_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{x}_0), \frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{x}_0) \right)^T$$ 则全微分可以写成梯度与位移向量的内积： $$dz = \nabla f(\mathbf{x}_0) \cdot d\mathbf{x}$$ 这个形式在高维空间和优化理论中至关重要。

那么，偏导数存在是否就意味着函数可微呢？在一元函数中，可导等价于可微。但在多元函数中，情况更为复杂。

定理（可微的充分条件）：如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内偏导数 $f_x, f_y$ 存在且连续，则函数在该点可微。

关键区别：

• 一元函数：可微 $\iff$ 可导。
• 多元函数：偏导数存在（可导） $\nRightarrow$ 可微。 可微要求更强，一阶偏导数连续是可微的充分条件（即属于 $C^1$ 类的函数一定可微）。

对于我们在分析和人工智能中遇到的大多数初等函数（如多项式、指数、对数、三角函数及其复合函数），它们在其定义域内通常是无限次可微的（$C^\infty$ 类），自然满足偏导数连续的条件。因此，对于这些“性质良好”的函数，只要偏导数存在，我们就可以放心地使用全微分公式。但我们必须从概念上牢记：全微分（可微）是一个比偏导数存在更强的局部性质。

全微分的计算示例

计算全微分的步骤非常直接：

1. 求出函数的所有一阶偏导数。
2. 将指定点的坐标代入偏导数，得到数值。
3. 代入全微分公式 $dz = f_x dx + f_y dy$。

例：设函数 $u = \left( \frac{y}{x} \right)^z$，求其在点 $P(1, 2, -1)$ 处的全微分 $du$。

解： 首先计算三个一阶偏导数。将 $u$ 写为 $u = y^z x^{-z}$ 更便于求导。

1. 对 $x$ 求偏导，将 $y, z$ 视为常数： $$\frac{\partial u}{\partial x} = -z y^z x^{-z-1} = -z \left( \frac{y}{x} \right)^z \frac{1}{x}$$
2. 对 $y$ 求偏导，将 $x, z$ 视为常数： $$\frac{\partial u}{\partial y} = z y^{z-1} x^{-z} = z \left( \frac{y}{x} \right)^{z-1} \frac{1}{x}$$
3. 对 $z$ 求偏导，将 $x, y$ 视为常数。此时 $u = a^z$，其中 $a = y/x$，故： $$\frac{\partial u}{\partial z} = \left( \frac{y}{x} \right)^z \ln\left( \frac{y}{x} \right)$$

接下来，将点 $P(1, 2, -1)$ 的坐标 $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ 代入各偏导数：

• $\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_P = -(-1) \cdot \left( \frac{2}{1} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
• $\left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_P = (-1) \cdot \left( \frac{2}{1} \right)^{-2} \cdot \frac{1}{1} = -1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$
• $\left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_P = \left( \frac{2}{1} \right)^{-1} \cdot \ln\left( \frac{2}{1} \right) = \frac{1}{2} \ln 2$

最后，代入 $n$ 元函数全微分公式： $$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz$$ 得到在点 $P$ 处的全微分为： $$du|_P = \frac{1}{2} dx - \frac{1}{4} dy + \frac{1}{2} \ln 2 , dz$$

用 Python 验证全微分计算

我们可以使用 sympy 符号计算库来验证上述偏导数和全微分的计算过程。

import sympy as sp

# 定义符号变量
x, y, z = sp.symbols('x y z')
# 定义函数 u = (y/x)^z
u = (y / x) ** z

print("函数 u =", u)
print("\n1. 计算偏导数：")
# 计算关于x的偏导数
u_x = sp.diff(u, x)
print("∂u/∂x =", u_x.simplify())
# 计算关于y的偏导数
u_y = sp.diff(u, y)
print("∂u/∂y =", u_y.simplify())
# 计算关于z的偏导数
u_z = sp.diff(u, z)
print("∂u/∂z =", u_z.simplify())

print("\n2. 在点 P(1, 2, -1) 处求值：")
# 代入点 P(1, 2, -1)
P = {x: 1, y: 2, z: -1}
u_x_val = u_x.subs(P).evalf()
u_y_val = u_y.subs(P).evalf()
u_z_val = u_z.subs(P).evalf()
print(f"∂u/∂x|_P = {u_x_val}")
print(f"∂u/∂y|_P = {u_y_val}")
print(f"∂u/∂z|_P = {u_z_val}")

print("\n3. 写出在点 P 的全微分表达式：")
# 定义自变量的微分符号
dx, dy, dz = sp.symbols('dx dy dz')
du = u_x_val*dx + u_y_val*dy + u_z_val*dz
print(f"du|_P = {du}")

📝 动手练一练

1. 概念辨析：判断下列说法是否正确，并说明理由。

   • (a) 若二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 都存在，则 $f$ 在该点可微。
   • (b) 若二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则 $f$ 在该点的两个偏导数必定连续。
   • (c) 函数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ 在原点 $(0, 0)$ 处的偏导数存在，但不可微。

2. 计算全微分：求函数 $z = e^{x^2 - y^2} \sin(2xy)$ 在点 $(0, \pi/4)$ 处的全微分 $dz$。

参考答案：

1. • (a) 错误。偏导数存在是可微的必要条件，而非充分条件。需要偏导数连续才能保证可微。
   • (b) 错误。可微可以推出偏导数存在，但不能推出偏导数连续。存在可微但偏导数不连续的函数。
   • (c) 正确。可以验证 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。但考虑增量 $\Delta z = f(\Delta x, \Delta x) - f(0,0) = |\Delta x|$，它与 $\rho = \sqrt{2}|\Delta x|$ 是同阶无穷小，无法写成 $0 \cdot \Delta x + 0 \cdot \Delta y + o(\rho)$ 的形式，故不可微。
2. 首先计算偏导数： $$f_x = e^{x^2-y^2}[2x\sin(2xy) + 2y\cos(2xy)], \quad f_y = e^{x^2-y^2}[-2y\sin(2xy) + 2x\cos(2xy)]$$ 在点 $(0, \pi/4)$ 处：$f_x(0, \pi/4) = e^{0-\pi^2/16}[0 + 2\cdot(\pi/4)\cos(0)] = (\pi/2)e^{-\pi^2/16}$，$f_y(0, \pi/4) = e^{-\pi^2/16}[ -2\cdot(\pi/4)\sin(0) + 0] = 0$。 因此，全微分 $dz|_{(0,\pi/4)} = \frac{\pi}{2}e^{-\pi^2/16} dx + 0 \cdot dy = \frac{\pi}{2}e^{-\pi^2/16} dx$。

本章小结

本节我们深入探讨了多元函数微分的核心概念——全微分。

• 核心思想：全微分是函数局部线性化的数学描述。对于二元函数，就是用切平面来近似曲面。
• 数学定义：函数可微意味着全增量 $\Delta z$ 能分解为线性主部 $A\Delta x + B\Delta y$ 与一个关于距离 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 的高阶无穷小量 $o(\rho)$ 之和。
• 核心公式：若函数可微，则 $dz = f_x dx + f_y dy$。其向量形式为梯度与自变量微分向量的内积。
• 关键关系：理清了“可微”、“偏导存在”、“偏导连续”三者的关系。可微最强，它要求偏导存在，但偏导存在推不出可微；偏导连续是保证可微的一个常用充分条件。

行动清单 学完本节，你可以立即：

1. 练习计算：找2-3个多元函数（如 $z = x^3y + \ln(xy)$），手动计算其在某点的偏导数和全微分，并用 Python (sympy) 验证结果。
2. 几何验证：对于简单函数如 $z = x^2 + y^2$，在一点（如 (1,1)）写出其切平面方程（即全微分定义的线性部分），并与曲面图形对比，直观理解“线性近似”。
3. 概念自测：尝试构造或查找一个“偏导数存在但不可微”的二元函数例子，加深对多元微分复杂性的理解。

— 小象教研组