函数四则运算的导数与反函数求导法则

函数四则运算的导数与反函数求导法则

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在掌握了导数的定义与基本初等函数的导数公式后，我们面临一个现实问题：如何对由这些基本函数通过加、减、乘、除等运算组合而成的复杂函数求导？本节将系统性地介绍函数四则运算的求导法则，并在此基础上，推导出反函数的求导公式。掌握这些法则，你将能够像搭积木一样，对绝大多数初等函数进行求导，并为后续学习链式法则、隐函数求导等高级技巧奠定坚实基础。

💡 核心导读

本节将构建求导运算的“工具箱”，核心内容包括：

1. 函数四则运算的求导法则：掌握和、差、积、商四种运算的导数公式。
2. 公式应用与推导：运用商的求导法则，推导出正切函数 $\tan x$ 和余切函数 $\cot x$ 的导数公式。
3. 反函数求导法则：理解并推导反函数的导数与原函数导数之间的倒数关系。
4. 反三角函数求导：应用反函数求导法则，推导出反正切函数 $\arctan x$ 和反正弦函数 $\arcsin x$ 的导数公式。

函数四则运算的求导法则

设函数 $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$ 在点 $x$ 处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点 $x$ 处也可导，且有以下法则：

1. 和与差的导数：导数满足线性可加性。 $$(u \pm v)^{\prime} = u^{\prime} \pm v^{\prime}$$

2. 乘积的导数（乘法法则）：形式对称，需“前导后不导”加“前不导后导”。 $$(u \cdot v)^{\prime} = u^{\prime} \cdot v + u \cdot v^{\prime}$$

3. 商的导数（除法法则）：可由乘法法则推导得出，分子为“子导母不导”减去“子不导母导”，分母为母函数的平方。 $$\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime} \cdot v - u \cdot v^{\prime}}{v^{2}}, \quad (v \neq 0)$$

这些法则极大地扩展了我们的求导能力。例如，我们可以立即对多项式函数 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 求导： $$P^{\prime}(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$$

推导：正切与余切函数的导数

利用商的求导法则，我们可以推导出新的基本导数公式。

正切函数 $\tan x$ 的导数： 已知 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，且 $\cos x \neq 0$。令 $u = \sin x$， $v = \cos x$。 应用除法法则： $$\begin{aligned} (\tan x)^{\prime} &= \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^{\prime} \ &= \frac{(\sin x)^{\prime} \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)^{\prime}}{\cos^2 x} \ &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \ &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \end{aligned}$$ 因此，我们得到公式： $$\boxed{(\tan x)^{\prime} = \sec^2 x}$$

余切函数 $\cot x$ 的导数： 类似地，$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$，且 $\sin x \neq 0$。 $$\begin{aligned} (\cot x)^{\prime} &= \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^{\prime} \ &= \frac{(\cos x)^{\prime} \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)^{\prime}}{\sin^2 x} \ &= \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \ &= \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \ &= -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \end{aligned}$$ 因此，我们得到公式： $$\boxed{(\cot x)^{\prime} = -\csc^2 x}$$

反函数求导法则

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调、可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在对应区间 $I_y$ 上也可导，且其导数与原函数的导数互为倒数关系。

定理（反函数求导法则）： $$\left( f^{-1}(y) \right)^{\prime} = \frac{1}{f^{\prime}(x)} = \frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(y))}$$ 或者，使用微分记号表述更为直观： 若 $y = f(x)$，则 $x = f^{-1}(y)$，且有 $$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x), \quad \frac{dx}{dy} = \left( f^{-1}(y) \right)^{\prime}$$ 它们满足关系： $$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dy} = 1$$

推导思路： 从定义出发，反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在 $y_0$ 处的导数为： $$\left( f^{-1}(y_0) \right)^{\prime} = \lim_{y \to y_0} \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0}$$ 令 $x = f^{-1}(y)$， $x_0 = f^{-1}(y_0)$，则 $y = f(x)$， $y_0 = f(x_0)$。当 $y \to y_0$ 时，由于函数连续且单调，必有 $x \to x_0$。将极限改写： $$\left( f^{-1}(y_0) \right)^{\prime} = \lim_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = \frac{1}{f^{\prime}(x_0)}$$ 这就证明了反函数的导数等于原函数导数的倒数。

应用：推导反三角函数的导数

1. 反正切函数 $y = \arctan x$ 其反函数关系为 $x = \tan y$, $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。 已知 $(\tan y)^{\prime} = \sec^2 y$。 根据反函数求导法则： $$\frac{dy}{dx} = (\arctan x)^{\prime} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{(\tan y)^{\prime}} = \frac{1}{\sec^2 y}$$ 利用三角恒等式 $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$，代入得： $$\boxed{(\arctan x)^{\prime} = \frac{1}{1 + x^2}}$$

2. 反正弦函数 $y = \arcsin x$ 其反函数关系为 $x = \sin y$, $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。 已知 $(\sin y)^{\prime} = \cos y$，且在此区间内 $\cos y \ge 0$。 根据反函数求导法则： $$\frac{dy}{dx} = (\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}$$ 利用恒等式 $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$（因 $\cos y \ge 0$，故取正根），代入得： $$\boxed{(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad x \in (-1, 1)}$$

import sympy as sp
import numpy as np

# 使用Sympy验证本节推导的导数公式
x = sp.symbols('x')
y = sp.symbols('y')

print("=== 验证四则运算求导法则 ===")
# 定义两个函数
u = sp.sin(x)
v = sp.cos(x)

# 验证乘法法则
prod_derivative = sp.diff(u * v, x)
manual_prod_derivative = sp.diff(u, x) * v + u * sp.diff(v, x)
print(f"d(sin(x)cos(x))/dx (Sympy): {prod_derivative}")
print(f"d(sin(x)cos(x))/dx (手动计算): {manual_prod_derivative}")
print(f"乘法法则验证结果: {sp.simplify(prod_derivative - manual_prod_derivative) == 0}")

# 验证除法法则
quot_derivative = sp.diff(u / v, x)
manual_quot_derivative = (sp.diff(u, x)*v - u*sp.diff(v, x)) / (v**2)
print(f"\nd(sin(x)/cos(x))/dx (Sympy): {quot_derivative}")
print(f"d(sin(x)/cos(x))/dx (手动计算): {manual_quot_derivative}")
print(f"除法法则验证结果: {sp.simplify(quot_derivative - manual_quot_derivative) == 0}")

print("\n=== 验证新推导的导数公式 ===")
# 验证 tan(x) 和 cot(x) 的导数
print(f"d(tan(x))/dx: {sp.diff(sp.tan(x), x)}")
print(f"d(cot(x))/dx: {sp.diff(sp.cot(x), x)}")

print("\n=== 验证反函数求导法则 ===")
# 验证 arctan(x) 和 arcsin(x) 的导数
print(f"d(arctan(x))/dx: {sp.diff(sp.atan(x), x)}")
print(f"d(arcsin(x))/dx: {sp.diff(sp.asin(x), x)}")

# 数值验证：在x=0.5处比较导数值
x_val = 0.5
# 计算 arctan(0.5) 的导数：1/(1+0.5^2)
derivative_atan_theory = 1 / (1 + x_val**2)
# 使用Sympy计算在x=0.5处的导数值
derivative_atan_sympy = sp.diff(sp.atan(x), x).subs(x, x_val).evalf()
print(f"\n在 x = {x_val} 处：")
print(f"  arctan(x)的理论导数值: {derivative_atan_theory}")
print(f"  arctan(x)的Sympy导数值: {derivative_atan_sympy}")
print(f"  两者是否接近: {np.isclose(float(derivative_atan_theory), float(derivative_atan_sympy))}")

📝 动手练一练

1. 综合练习：已知函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{\sin x}$，求 $f^{\prime}(x)$。

2. 反函数求导应用：利用反函数求导法则，推导反余弦函数 $y = \arccos x$ 的导数公式。

参考答案：

1. 应用商的求导法则： $$f^{\prime}(x) = \frac{(x^2 + 1)^{\prime} \cdot \sin x - (x^2 + 1) \cdot (\sin x)^{\prime}}{\sin^2 x} = \frac{2x \sin x - (x^2 + 1) \cos x}{\sin^2 x}$$

2. 设 $y = \arccos x$，则 $x = \cos y$, $y \in [0, \pi]$。已知 $(\cos y)^{\prime} = -\sin y$，且在此区间内 $\sin y \ge 0$。根据反函数求导法则： $$(\arccos x)^{\prime} = \frac{1}{(\cos y)^{\prime}} = \frac{1}{-\sin y} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 y}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad x \in (-1, 1)$$

本章小结

本节是构建求导运算大厦的“施工手册”。我们系统学习了函数四则运算的求导法则，掌握了将复杂函数拆解为基本部件进行求导的方法。更重要的是，我们深入理解了反函数求导法则的倒数关系本质，并成功推导出多个关键的反三角函数导数公式。这些工具共同构成了微积分中处理函数变化率问题的核心基础。

行动清单 学完本节，你可以立即：

1. 练习拆解：任意写下一个由基本初等函数通过四则运算组合的表达式，尝试手动求导，再使用计算工具验证。
2. 推导验证：仿照本节对 $\arctan x$ 和 $\arcsin x$ 的推导过程，独立完成对 $\text{arccot } x$ 和 $\text{arccsc } x$ 的导数公式推导。
3. 运行代码：运行本节提供的 Python 代码，观察符号计算库如何实现这些法则，并尝试修改代码以验证你自己推导的公式。

— 小象教研组