有理式积分

有理式积分

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在学习了基本积分方法后，我们面临一个核心问题：哪些函数是“可积”的？即，其原函数能否用初等函数表示？本节将系统探讨一类重要的可积函数——有理函数。我们将学习如何将任意有理函数分解为几种简单的“部分分式”，并最终求出其不定积分。掌握这一方法，你就能从理论上解决所有有理函数的积分问题，并为后续学习更复杂的积分技巧（如三角有理式积分）打下坚实基础。

💡 核心导读

本节你将掌握：

1. 有理式与部分分式：理解真分式与假分式的概念，以及有理式分解为四种基本部分分式的理论依据。
2. 分解定理与操作：学习如何根据分母的因式分解，将复杂的有理式拆解为一系列简单分式的和。
3. 四种部分分式的积分：掌握处理一次实根、重实根、一次复根对、重复根对所对应的四种标准形式的积分方法。
4. 有理化技巧的应用：了解如何通过变量替换，将某些包含根式的非有理式积分转化为有理式积分问题。

有理式与部分分式分解

有理式（或有理函数）是指两个实系数多项式相除所构成的函数。一般形式为： $$R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_0}$$ 其中要求 $Q(x) \not\equiv 0$，且通常假设 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 互质（即已约去公因式）。

若分子多项式 $P(x)$ 的次数 $n$ 小于分母多项式 $Q(x)$ 的次数 $m$，则称 $R(x)$ 为真分式；否则称为假分式。对于假分式，我们可以通过多项式除法将其化为一个多项式与一个真分式之和： $$\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{P_1(x)}{Q(x)}, \quad \deg(P_1) < \deg(Q)$$ 其中 $S(x)$ 是商式，$P_1(x)$ 是余式。因此，研究有理式积分的核心在于解决真分式的积分问题。

一个关键结论是：任何实系数真分式都可以唯一地分解为若干种简单真分式的和，这些简单分式称为部分分式。部分分式共有四种基本类型：

1. 一次单实根型：$\dfrac{A}{x - a}$，其中 $a, A \in \mathbb{R}$。
2. 一次重实根型：$\dfrac{A}{(x - a)^k}$，其中 $a, A \in \mathbb{R}$，$k \ge 2$。
3. 二次单复根对型：$\dfrac{Bx + C}{x^2 + px + q}$，其中 $B, C, p, q \in \mathbb{R}$，且判别式 $\Delta = p^2 - 4q < 0$。
4. 二次重复根对型：$\dfrac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^k}$，其中 $B, C, p, q \in \mathbb{R}$，$\Delta < 0$，$k \ge 2$。

分解的理论基础源于代数基本定理：任何实系数多项式 $Q(x)$ 在实数域上可以分解为一次因式和二次不可约因式（对应共轭复根）的乘积。设 $Q(x)$ 有 $s$ 个互异实根 $a_i$，重数分别为 $\alpha_i$；以及 $t$ 组互异的共轭复根对（对应二次不可约因式 $x^2 + p_j x + q_j$），重数分别为 $\beta_j$，则： $$Q(x) = b_m \prod_{i=1}^{s} (x - a_i)^{\alpha_i} \prod_{j=1}^{t} (x^2 + p_j x + q_j)^{\beta_j}$$ 那么，真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的部分分式分解形式为： $$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{s} \sum_{r=1}^{\alpha_i} \frac{A_{ir}}{(x - a_i)^r} + \sum_{j=1}^{t} \sum_{r=1}^{\beta_j} \frac{B_{jr}x + C_{jr}}{(x^2 + p_j x + q_j)^r}$$ 其中 $A_{ir}, B_{jr}, C_{jr}$ 为待定常数。

部分分式的积分方法

将有理真分式分解为部分分式后，积分问题就转化为对上述四种基本类型求积分。

类型一与类型二：实根相关型

这两种类型的积分本质上是幂函数积分。 $$\int \frac{A}{x - a} dx = A \ln |x - a| + C$$ $$\int \frac{A}{(x - a)^k} dx = A \int (x - a)^{-k} dx = \frac{A}{(-k+1)}(x - a)^{-k+1} + C, \quad (k \ge 2)$$

类型三：二次单复根对型

对于 $\displaystyle I = \int \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} dx$，其中 $p^2 - 4q < 0$。核心思想是“凑微分”，将分子拆分为分母导数的一部分与一个常数。

首先，对分母配方：$x^2 + px + q = (x + \frac{p}{2})^2 + (q - \frac{p^2}{4})$。令 $a^2 = q - \frac{p^2}{4} > 0$，并作代换 $u = x + p/2$。

接着处理分子：$Bx + C = B(x + p/2) + (C - Bp/2)$。于是积分拆分为两部分： $$\begin{aligned} I &= \int \frac{Bu + (C - \frac{Bp}{2})}{u^2 + a^2} du \ &= \frac{B}{2} \int \frac{2u}{u^2 + a^2} du + (C - \frac{Bp}{2}) \int \frac{1}{u^2 + a^2} du \ &= \frac{B}{2} \ln(u^2 + a^2) + \frac{C - \frac{Bp}{2}}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C_0 \end{aligned}$$ 最后将 $u = x + p/2$ 和 $a = \sqrt{q - p^2/4}$ 代回即可。

类型四：二次重复根对型

对于 $\displaystyle I_k = \int \frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^k} dx$，处理更为复杂，但思路类似。通常先配方 $x^2+px+q = (x+d)^2 + a^2$，令 $u = x+d$，将分子表示为 $B(u-d) + C = Bu + (C - Bd)$。

积分 $I_k$ 可拆分为两项： $$I_k = B \int \frac{u}{(u^2 + a^2)^k} du + (C - Bd) \int \frac{1}{(u^2 + a^2)^k} du$$ 第一项是简单的幂函数积分：$\int \frac{u}{(u^2 + a^2)^k} du = \frac{1}{2(1-k)}(u^2+a^2)^{1-k} + C$（$k \ne 1$）。

第二项 $\displaystyle J_k = \int \frac{1}{(u^2 + a^2)^k} du$ 需要使用递推公式。通过分部积分可以推导出： $$J_k = \frac{u}{2a^2(k-1)(u^2+a^2)^{k-1}} + \frac{2k-3}{2a^2(k-1)} J_{k-1}, \quad k \ge 2$$ 而 $J_1 = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) + C$。通过此递推式可逐步求出 $J_k$。

分解与求解实例

理论需要实践来巩固。我们通过两个例子来演示如何从分解到求解。

例1：分解 $\displaystyle \frac{1}{x(x-1)^3}$ 为部分分式。 分母 $Q(x) = x(x-1)^3$，有一个一重实根 $x=0$ 和一个三重实根 $x=1$。根据分解定理，应设： $$\frac{1}{x(x-1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3}$$ 将右边通分，分子为： $$A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx$$ 令其等于左边分子 $1$。通过比较 $x$ 的同次幂系数，或代入特殊值（如 $x=0, 1$），可解得： $$A = -1,\quad B = 1,\quad C = -1,\quad D = 1$$ 因此， $$\frac{1}{x(x-1)^3} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-1)^3}$$ 积分可得： $$\int \frac{1}{x(x-1)^3} dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^2} + C$$

例2：分解并积分 $\displaystyle \frac{4}{x^3 + 4x}$。 分母 $Q(x) = x(x^2+4)$，有一个一重实根 $x=0$ 和一对一重复根 $x=\pm 2i$（对应二次因式 $x^2+4$）。设： $$\frac{4}{x(x^2+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+4}$$ 通分后比较分子：$4 = A(x^2+4) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + 4A$。 比较系数得方程组： $$\begin{cases} A + B = 0 \ C = 0 \ 4A = 4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A = 1,\ B = -1,\ C = 0.$$ 所以， $$\frac{4}{x^3+4x} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+4}$$ 积分： $$\int \frac{4}{x^3+4x} dx = \int \frac{1}{x} dx - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+4} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+4) + C$$

有理化方法的应用

某些包含根式的积分，可以通过适当的变量代换转化为有理式积分。

例3：求 $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}}$。 被积函数含有 $x^{1/3}$ 和 $x^{1/4}$，指数分母的最小公倍数为 $12$。令 $t = x^{1/12}$，则 $x = t^{12}$，$dx = 12t^{11} dt$。代入原积分： $$\begin{aligned} \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}} &= \int \frac{12t^{11} dt}{t^4 + t^3} = 12 \int \frac{t^{8}}{t + 1} dt \end{aligned}$$ 这变成了一个有理函数的积分。通过多项式除法，$t^8 = (t+1)(t^7 - t^6 + t^5 - t^4 + t^3 - t^2 + t - 1) + 1$。所以， $$12 \int \frac{t^{8}}{t + 1} dt = 12 \int \left( t^7 - t^6 + t^5 - t^4 + t^3 - t^2 + t - 1 + \frac{1}{t+1} \right) dt$$ 逐项积分后，再将 $t = x^{1/12}$ 代回即可得到最终结果（表达式较长，此处略）。

这种通过代换 $t = x^{1/n}$（$n$ 为根指数的最小公倍数）将根式有理化的方法，对于被积函数为 $x$ 的不同有理幂次构成的代数函数非常有效。

📝 动手练一练

1. 分解练习：将有理式 $\displaystyle \frac{2x^2 - x + 3}{(x-1)(x^2+1)^2}$ 分解为部分分式的和（无需积分）。
2. 积分计算：计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x^2 + 2x + 5}{x^3 + x} dx$。

参考答案：

1. 设分解形式为： $$\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$$ 通分后比较分子与 $2x^2 - x + 3$ 的系数，可解得：$A=1, B=-1, C=-1, D=0, E=-1$。 因此，分解结果为： $$\frac{1}{x-1} + \frac{-x-1}{x^2+1} + \frac{-1}{(x^2+1)^2}$$

2. 首先分解：$\displaystyle \frac{x^2 + 2x + 5}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$。 通分得：$x^2+2x+5 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + A$。 解得：$A=5, B=-4, C=2$。 积分： $$\begin{aligned} \int \frac{x^2 + 2x + 5}{x^3 + x} dx &= \int \left( \frac{5}{x} + \frac{-4x+2}{x^2+1} \right) dx \ &= 5\ln|x| - 2\int \frac{2x}{x^2+1} dx + 2\int \frac{1}{x^2+1} dx \ &= 5\ln|x| - 2\ln(x^2+1) + 2\arctan x + C \end{aligned}$$

本章小结

本节系统学习了有理式积分的完整解决方案：

1. 理论核心：任何实系数有理真分式均可唯一分解为四种部分分式（一次单/重实根、二次单/重复根对）的线性组合。
2. 操作流程：先判别真假分式，假分式则多项式除法；再对分母进行实系数因式分解；根据因式类型设定部分分式待定形式；通分后比较系数求解待定常数。
3. 积分归约：四种部分分式的积分均可通过基本公式、凑微分、配方、反正切积分及递推公式解决。
4. 方法拓展：对于含根式的积分，常可通过变量代换（如令 $t$ 为根指数的最小公倍数幂）将其有理化，从而应用本节方法。

行动清单 学完本节，你可以立即：

1. 练习分解：找 3-5 个不同分母结构（含重根、复根）的有理式，手动完成其部分分式分解。
2. 代码验证：使用 sympy 的 apart 函数验证你的分解结果，并用 integrate 函数验证积分结果。
3. 总结题型：整理笔记，将例题和习题按“纯有理式积分”和“需有理化积分”分类，归纳各自的处理起点和关键步骤。

— 小象教研组

import sympy as sp

# 使用 sympy 验证有理式分解与积分
x = sp.symbols('x')

# 示例1：验证分解
expr1 = 1 / (x * (x-1)**3)
decomposed1 = sp.apart(expr1, x)
print("例1分解结果：")
print(decomposed1)
print()

# 示例2：验证积分
expr2 = 4 / (x**3 + 4*x)
integral2 = sp.integrate(expr2, x)
print("例2积分结果：")
print(integral2.simplify())
print()

# 动手练一练第2题验证
expr_practice = (x**2 + 2*x + 5) / (x**3 + x)
integral_practice = sp.integrate(expr_practice, x)
print("练习题2积分结果：")
print(integral_practice.simplify())

# 手动计算结果的验证：是否与 sympy 结果在形式上等价？
# 可以通过相减求导是否为0来验证，这里简单打印对比
print("\n验证：手动结果 5*log|x| - 2*log(x^2+1) + 2*arctan(x) 与 sympy 结果是否等价？")
manual_result = 5*sp.log(sp.Abs(x)) - 2*sp.log(x**2+1) + 2*sp.atan(x)
# 注意：sympy 的 log 默认是自然对数，且通常不写绝对值，实际等价性需考虑定义域
# 这里我们检查导数是否相同
derivative_diff = sp.diff(integral_practice - manual_result, x)
print("两者之差的导数为：", sp.simplify(derivative_diff))
if sp.simplify(derivative_diff) == 0:
    print("✓ 导数为0，说明两个表达式在可导区间内仅相差一个常数。")