一阶全微分形式的不变性与高阶微分

一阶全微分形式的不变性与高阶微分

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在多元函数的微分学中，复合函数的求导（链式法则）是核心工具。本节将探讨链式法则在微分形式上的一个优美体现——一阶全微分形式的不变性。掌握这一性质，能让我们在处理复杂复合函数的微分时，如同处理简单函数一样直接。此外，我们还将把高阶微分的概念从一元函数推广到多元函数，并揭示其与二项式定理的深刻联系，为后续学习泰勒公式打下基础。

💡 核心导读

• 一阶全微分形式不变性：无论中间变量是自变量还是因变量，全微分的形式保持不变。这是链式法则的直接推论，也是简化计算的关键。
• 高阶全微分：通过对一阶全微分重复进行微分运算，可以得到高阶全微分。多元函数的高阶微分公式具有类似二项式定理的展开形式。
• 算子观点：引入微分算子 $\partial / \partial x$ 和 $\partial / \partial y$，可以将高阶全微分公式写成一个简洁的算子幂次形式，极大地简化了记忆和推导。
• 实战应用：利用一阶全微分形式不变性，可以快速、准确地计算复杂复合函数的全微分，避免繁琐的链式求导过程。

一阶全微分形式的不变性

问题引入与概念表述

考虑一个典型的复合函数情形：设 $z = f(u, v)$，而中间变量 $u, v$ 又是自变量 $x, y$ 的函数，即 $u = u(x, y), v = v(x, y)$。假设所有函数都具有连续的偏导数。那么，$z$ 最终是 $x, y$ 的复合函数： $$z = f(u(x, y), v(x, y))$$

根据链式法则，我们可以计算 $z$ 对 $x, y$ 的偏导数，进而写出其全微分： $$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$

然而，链式法则告诉我们： $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$$

将这两个表达式代入 $dz$ 的定义式，并进行整理： $$\begin{aligned} dz &= \left( \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \right) dx + \left( \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \right) dy \ &= \frac{\partial f}{\partial u} \left( \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy \right) + \frac{\partial f}{\partial v} \left( \frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy \right) \end{aligned}$$

注意到括号内的表达式正是中间变量 $u$ 和 $v$ 的全微分： $$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy, \quad dv = \frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$$

因此，我们得到了一个极其简洁的结果： $$dz = \frac{\partial f}{\partial u} du + \frac{\partial f}{\partial v} dv$$

这个形式与 $u, v$ 本身就是自变量时，函数 $z = f(u, v)$ 的全微分公式 完全一致。这一性质被称为 一阶全微分形式的不变性。

性质总结与意义

一阶全微分形式不变性：设 $z = f(u_1, u_2, \dots, u_m)$，而 $u_i = u_i(x_1, x_2, \dots, x_n) \ (i=1,2,\dots,m)$，且所有函数均具有连续的偏导数。则不论 $u_i$ 是自变量还是中间变量，其一阶全微分都具有相同的形式： $$dz = \frac{\partial f}{\partial u_1} du_1 + \frac{\partial f}{\partial u_2} du_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial u_m} du_m$$

重要意义：

1. 计算简化：在实际计算复合函数的全微分时，我们可以“假装”中间变量就是自变量，直接写出微分形式 $f_u du + f_v dv$，然后再将 $du, dv$ 用其关于最终自变量的微分表达式代入即可。这避免了先求偏导再组装的繁琐步骤。
2. 形式统一：它揭示了微分运算的一种内在“不变性”，即微分形式不依赖于变量的角色（自变量或中间变量），只依赖于函数关系本身。这使得微分成为比导数更具“几何”或“形式”意义的运算对象。

例题解析

例题：设函数 $u = \sin(x^2 + y^2) + e^{xz}$，求 $u$ 在点 $(1, 0, 1)$ 处的全微分 $du$。

解： 利用一阶全微分形式不变性。令 $s = x^2 + y^2$，$t = xz$，则 $u = \sin s + e^t$。 首先，将 $s, t$ 视为中间变量，直接写出 $u$ 的微分： $$du = \cos s \cdot ds + e^t \cdot dt$$ 接下来，计算 $ds$ 和 $dt$： $$ds = d(x^2 + y^2) = 2x dx + 2y dy$$ $$dt = d(xz) = z dx + x dz$$ 将 $ds, dt$ 的表达式代回 $du$： $$\begin{aligned} du &= \cos(x^2 + y^2) \cdot (2x dx + 2y dy) + e^{xz} \cdot (z dx + x dz) \ &= [2x \cos(x^2 + y^2) + z e^{xz}] dx + [2y \cos(x^2 + y^2)] dy + [x e^{xz}] dz \end{aligned}$$ 最后，代入点 $(x, y, z) = (1, 0, 1)$：

• $x^2 + y^2 = 1$，故 $\cos(1)$。
• $xz = 1$，故 $e^{1} = e$。
• $y=0$。 代入得： $$du|_{(1,0,1)} = [2 \cdot 1 \cdot \cos 1 + 1 \cdot e] dx + [2 \cdot 0 \cdot \cos 1] dy + [1 \cdot e] dz = (2\cos 1 + e) dx + e dz$$ 因此，在点 $(1,0,1)$ 处，$du = (2\cos 1 + e) dx + e dz$。

import sympy as sp

# 定义符号变量和微分符号
x, y, z = sp.symbols('x y z')
dx, dy, dz = sp.symbols('dx dy dz')

# 定义函数 u = sin(x^2 + y^2) + exp(x*z)
u = sp.sin(x**2 + y**2) + sp.exp(x*z)

# 方法1：直接利用 sympy 的微分功能求全微分（它会自动应用链式法则）
du_direct = sp.diff(u, x)*dx + sp.diff(u, y)*dy + sp.diff(u, z)*dz
print("直接求偏导得到的全微分表达式：")
print(sp.simplify(du_direct))
print()

# 方法2：利用一阶全微分形式不变性手动计算
# 令 s = x^2 + y^2, t = x*z（s, t 用独立符号表示，便于对中间变量求导）
s, t = sp.symbols('s t')
u_uv = sp.sin(s) + sp.exp(t)

# 计算 du = (∂u/∂s) ds + (∂u/∂t) dt，再把 s, t 的表达式代回
s_expr = x**2 + y**2
t_expr = x*z
du_s = sp.diff(u_uv, s).subs(s, s_expr)  # cos(x^2+y^2)
du_t = sp.diff(u_uv, t).subs(t, t_expr)  # exp(x*z)

# 计算 ds 和 dt
ds = sp.diff(s_expr, x)*dx + sp.diff(s_expr, y)*dy + sp.diff(s_expr, z)*dz  # 2x dx + 2y dy
dt = sp.diff(t_expr, x)*dx + sp.diff(t_expr, y)*dy + sp.diff(t_expr, z)*dz  # z dx + x dz

du_by_invariance = du_s * ds + du_t * dt
print("利用一阶全微分形式不变性得到的表达式：")
print(sp.simplify(du_by_invariance))
print()

# 验证两种方法结果一致
print("两种方法结果是否一致？", sp.simplify(du_direct - du_by_invariance) == 0)
print()

# 代入点 (1, 0, 1) 求值
du_at_point = du_direct.subs({x: 1, y: 0, z: 1})
print(f"在点 (1, 0, 1) 处的全微分为：")
print(sp.simplify(du_at_point))
# 提取 dx 和 dz 的系数
coeff_dx = sp.simplify(du_at_point.coeff(dx))
coeff_dz = sp.simplify(du_at_point.coeff(dz))
print(f"即 du = ({coeff_dx}) dx + ({coeff_dz}) dz")

高阶全微分

从一元函数到多元函数

在一元函数中，若 $y = f(x)$ 具有 $n$ 阶导数，则其 $n$ 阶微分定义为： $$d^n y = f^{(n)}(x) (dx)^n$$ 其中 $(dx)^n$ 表示自变量的微分 $dx$ 的 $n$ 次幂，并约定它是一个常数因子。

对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们通过重复进行微分运算来定义高阶全微分。一阶全微分为： $$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \triangleq f_x dx + f_y dy$$

二阶全微分

二阶全微分 $d^2 z$ 定义为 $dz$ 的微分，即 $d(dz)$。在计算时，我们将 $dx, dy$ 视为常数（因为它们是自变量的微分，不随 $x, y$ 变化）。因此： $$\begin{aligned} d^2 z &= d(dz) = d(f_x dx + f_y dy) \ &= d(f_x) dx + d(f_y) dy \quad \text{(因为 $dx, dy$ 是常数)} \ &= \left( \frac{\partial f_x}{\partial x} dx + \frac{\partial f_x}{\partial y} dy \right) dx + \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} dx + \frac{\partial f_y}{\partial y} dy \right) dy \ &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dx)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} dy dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (dy)^2 \end{aligned}$$

如果函数 $f$ 的二阶混合偏导数连续，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。此时，上式可以合并为： $$d^2 z = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dx)^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (dy)^2$$

算子观点与 n 阶微分公式

上述二阶微分公式启发我们引入微分算子。定义算子： $$d = dx \frac{\partial}{\partial x} + dy \frac{\partial}{\partial y}$$ 那么，一阶微分可以简洁地写为 $dz = d f$。二阶微分则可以看作算子 $d$ 作用于 $f$ 两次： $$d^2 z = d^2 f = (dx \frac{\partial}{\partial x} + dy \frac{\partial}{\partial y})^2 f$$ 将算子平方形式地按二项式定理展开： $$(dx \frac{\partial}{\partial x} + dy \frac{\partial}{\partial y})^2 = (dx)^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} + 2 dx dy \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} + (dy)^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}$$ 然后作用于 $f$，得到的结果与前面推导的 $d^2 z$ 公式完全一致。

推广到 $n$ 阶微分，我们有： $$d^n z = d^n f = (dx \frac{\partial}{\partial x} + dy \frac{\partial}{\partial y})^n f$$ 将其形式地按二项式定理展开： $$d^n f = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}} (dx)^k (dy)^{n-k}$$ 其中 $C_n^k$ 是二项式系数，$\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}$ 表示 $f$ 的 $n$ 阶偏导数，先对 $x$ 求 $k$ 次，再对 $y$ 求 $n-k$ 次。在混合偏导数连续的条件下，求导次序可交换，该记号是明确的。

import sympy as sp

# 定义符号变量和微分符号
x, y = sp.symbols('x y')
dx, dy = sp.symbols('dx dy')
# 定义一个二元函数
f = sp.sin(x*y) + x**2 * sp.log(y)

# 计算一阶全微分 df
f_x = sp.diff(f, x)
f_y = sp.diff(f, y)
df = f_x * dx + f_y * dy
print("一阶全微分 df：")
print(df)
print()

# 计算二阶全微分 d^2f (通过微分 df)
# 将 df 中的系数 f_x, f_y 视为新的函数，对它们求微分
coeff_dx = f_x  # df 中 dx 的系数
coeff_dy = f_y  # df 中 dy 的系数

# d^2f = d(coeff_dx)*dx + d(coeff_dy)*dy
d_coeff_dx = sp.diff(coeff_dx, x)*dx + sp.diff(coeff_dx, y)*dy
d_coeff_dy = sp.diff(coeff_dy, x)*dx + sp.diff(coeff_dy, y)*dy
d2f_calculated = d_coeff_dx * dx + d_coeff_dy * dy
print("通过微分 df 计算得到的 d^2f：")
print(sp.expand(d2f_calculated))
print()

# 使用二阶微分公式计算 d^2f
f_xx = sp.diff(f, x, 2)
f_xy = sp.diff(f, x, y)
f_yy = sp.diff(f, y, 2)
# 公式： d^2f = f_xx * dx^2 + 2*f_xy * dx*dy + f_yy * dy^2
d2f_formula = f_xx * dx**2 + 2*f_xy * dx*dy + f_yy * dy**2
print("使用二阶微分公式计算得到的 d^2f：")
print(sp.expand(d2f_formula))
print()

# 验证两种方法结果一致
print("两种方法计算的二阶微分是否一致？", sp.simplify(d2f_calculated - d2f_formula) == 0)
print()

# 展示算子形式 (dx * ∂/∂x + dy * ∂/∂y)^2 f
# 定义微分算子 d_op（符号表示）
d_op = dx * sp.Symbol('∂/∂x') + dy * sp.Symbol('∂/∂y')
print("微分算子形式： d = ", d_op)
print("d^2 的形式展开（按二项式定理）：")
print("(dx * ∂/∂x + dy * ∂/∂y)^2 = dx^2 * ∂²/∂x² + 2*dx*dy * ∂²/∂x∂y + dy^2 * ∂²/∂y²")

📝 动手练一练

1. 利用一阶全微分形式不变性求全微分 设函数 $w = \arctan(\frac{u}{v})$，其中 $u = x + y$, $v = x - y$。求 $dw$，并将其表示为 $dx$ 和 $dy$ 的表达式。

   参考答案： 令 $t = u/v$，则 $w = \arctan t$。先利用形式不变性：$dw = \frac{1}{1+t^2} dt$。 计算 $dt = d(u/v) = \frac{v du - u dv}{v^2}$。 又 $du = d(x+y) = dx + dy$，$dv = d(x-y) = dx - dy$。 代入并整理，最终可得：$dw = \frac{-y dx + x dy}{x^2 + y^2}$。

2. 计算二阶全微分 设函数 $z = e^{x} \cos y$，求其二阶全微分 $d^2 z$。

   参考答案： 首先求偏导： $z_x = e^x \cos y$, $z_y = -e^x \sin y$, $z_{xx} = e^x \cos y$, $z_{xy} = -e^x \sin y$, $z_{yy} = -e^x \cos y$。 代入二阶全微分公式： $$d^2 z = z_{xx} (dx)^2 + 2z_{xy} dx dy + z_{yy} (dy)^2 = e^x \cos y (dx)^2 - 2e^x \sin y dx dy - e^x \cos y (dy)^2$$ 也可以写成 $d^2 z = e^x [\cos y (dx^2 - dy^2) - 2\sin y dx dy]$。

本章小结

本节深入探讨了多元微分学中两个重要的进阶主题：

1. 一阶全微分形式的不变性：这是链式法则的微分形式体现。它指出，无论变量是自变量还是中间变量，函数的一阶全微分形式保持不变。这一性质是简化复合函数微分计算的强大工具。
2. 高阶全微分：我们通过重复微分运算定义了高阶全微分，并推导了二阶全微分的具体公式。更重要的是，我们引入了微分算子的观点，将 $n$ 阶全微分与二项式定理联系起来，得到了简洁的通用公式 $d^n f = (dx \frac{\partial}{\partial x} + dy \frac{\partial}{\partial y})^n f$。这种形式化的处理方法在泰勒公式的推导中至关重要。

行动清单

• 掌握“形式不变”思维：下次遇到复合函数求全微分时，尝试先利用形式不变性直接写出对中间变量的微分式，再代入中间变量的微分，体会其便捷性。
• 验证一个高阶微分：任选一个二元函数（如 $z = x^3 y^2$），手动计算其一阶和二阶全微分，并尝试用微分算子 $(dx \partial_x + dy \partial_y)^2$ 的形式展开来验证结果。
• 联想与预习：思考微分算子形式 $d = dx \partial_x + dy \partial_y$ 与后续将学习的方向导数 $\nabla f \cdot \vec{l}$有何联系？这有助于构建知识网络。

— 小象教研组